Hay que procesar 120 páginas. A 20 páginas por hora se necesitan 6 horas; a 40, 3. ¿Por qué duplicar la productividad divide el tiempo por dos? El trabajo permanece fijo: productividad por tiempo no cambia.
Usamos expresiones racionales y funciones. El ejemplo es hipotético: ritmo constante, páginas igual de difíciles y ninguna preparación, pausa ni repetición.
Primero un producto constante, después una fracción
Sean p > 0 la productividad numérica en páginas/hora y t > 0 el tiempo numérico en horas. De pt = 120:
t = (120)/(p).
120 representa páginas: páginas/hora × hora = páginas. Para p = 30, t = 4 horas. Triplicar la productividad deja un tercio del tiempo mientras sigan vigentes las mismas condiciones.
La regla general de proporcionalidad inversa es y = k/x, con k constante no nulo. La forma equivalente xy = k muestra qué se conserva. Exige más que «una aumenta y la otra disminuye». Por ejemplo, y = 10 − x también disminuye, pero xy no es constante. Variación inversa, OpenStax §7.5.
Una misma área, distintas formas
Un rectángulo de área 12 cm² tiene lados numéricos en centímetros que cumplen xy = 12, luego y = 12/x. Los pares (2,6), (3,4) y (6,2) dan siempre la misma área. Al duplicar un lado, el otro debe reducirse a la mitad.
Una misma área: 12 cm²
Rama positiva y=12/x
Los rectángulos solo modelan longitudes positivas. En álgebra pura, y = 12/x también admite x negativos y entonces y es negativo. La gráfica completa es una hipérbola de dos ramas. Para k > 0 ocupan los cuadrantes I y III; para k < 0, II y IV.
Por qué los ejes describen aproximaciones
x = 0 queda excluido por el denominador. Cuando x positivo se acerca a cero, 12/x crece sin límite: para 0,1 vale 120; para 0,01 vale 1200. Al crecer x, la salida se aproxima a cero: para 120 vale 0,1; para 1200 vale 0,01.
Por eso x = 0 e y = 0 son las asíntotas de esta gráfica: describen aproximación, no valores cero alcanzables. Para x finito no nulo, 12/x nunca es cero. Es una propiedad de esta función concreta; otras gráficas sí pueden cruzar asíntotas horizontales. Hipérbolas y asíntotas, OpenStax §5.6.
Dos significados de «inversa»
La proporcionalidad inversa describe un producto constante. Una función inversa recupera la entrada original a partir de la salida. Para f(x) = 2x, la regla inversa es (f)^( − 1)(y) = y/2, no 1/(2y). Aquí (f)^( − 1) no significa el recíproco 1/f.
El modelo tampoco promete cero horas en un trabajo real. Con una preparación fija de 1 hora, el tiempo total sería T = 1 + 120/p y pT = p + 120 dejaría de ser constante. Antes de aplicar «el doble da la mitad», comprueba qué se conserva y si existe un término que no cambia de escala.