Ecuaciones cuadráticas: discriminante y fórmulas de Vieta

Un terreno rectangular tiene perímetro 28 m y área 40 m². ¿Cuánto miden sus lados? Dos lados adyacentes suman 14 m. Si uno mide $x$ m, el otro mide $(14-x)$ m, de modo que $x(14-x)=40$ . Los lados son 4 m y 10 m; las dos raíces describen el mismo rectángulo intercambiando los nombres de sus lados.

Necesitamos factores, raíces cuadradas y transformaciones equivalentes. $x$ es el valor numérico de una longitud en metros, así que $0<x<14$ ; el producto se mide en m².

Completar un cuadrado

Desarrollamos y cambiamos el signo: $x^2-14x+40=0$ . Sumamos y restamos $7^2=49$ :

x^2-14x+40=(x-7)^2-9.

Esto es completar el cuadrado: el término central −14x sugiere la mitad del coeficiente, −7. Entonces $(x-7)^2=9$ , de donde $x-7=3$ o $x-7=-3$ . Obtenemos $x=10$ o $x=4$ , ambas válidas. Comprobación: $2(4+10)=28$ m y $4\cdot10=40$ m².

La misma construcción da la fórmula general

Una ecuación cuadrática tiene forma $ax^2+bx+c=0$ , con coeficientes reales y $a\ne0$ . Si $a=0$ , el caso es lineal o degenerado.

Multiplicamos por $4a$ , distinto de cero, y completamos un cuadrado:

4a^2x^2+4abx+4ac=0,

(2ax+b)^2=b^2-4ac.

El número $D=b^2-4ac$ es el discriminante. Si $D\ge0$ , entonces $2ax+b=\pm\sqrt D$ , por tanto:

x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.

$\pm$ indica dos cálculos, con más y con menos; coinciden si $D=0$ . El denominador es todo $2a$ y divide a todo el numerador. Métodos cuadráticos, OpenStax §2.5.

Para el terreno $a=1,b=-14,c=40$ : $D=196-160=36$ . Entonces $x=(14\pm6)/2$ , es decir, 10 y 4. Los paréntesis de $(-14)^2$ protegen el signo del coeficiente.

Por qué el signo de D cuenta raíces

El cuadrado $(2ax+b)^2$ nunca es negativo. Si $D<0$ , no hay raíces reales. Si $D=0$ , hay una raíz $-b/(2a)$ , llamada también doble. Si $D>0$ , hay dos raíces reales distintas.

En el gráfico $y=ax^2+bx+c$ , cada punto muestra el valor de la expresión para un $x$ . El gráfico se llama parábola. Las raíces son los $x$ donde $y=0$ : la parábola corta el eje horizontal, lo toca o no tiene puntos comunes con él.

Continua: y=x²−1, D=4, raíces −1 y 1. Discontinua: y=x², D=0, raíz 0. Punteada: y=x²+1, D=−4, sin raíces reales. Escalas uniformes; unidades abstractas en ambos ejes.

No siempre hace falta la fórmula completa

Cuando $b=0$ o $c=0$ , la ecuación es incompleta. $x^2-9=0$ da directamente $x=\pm3$ . En $x^2-3x=0$ extraemos $x$ : $x(x-3)=0$ , luego $x=0$ o 3. Dividir entre $x$ perdería el cero. Para $a\ne0$ , $ax^2=0$ solo tiene $x=0$ .

Vieta: los coeficientes registran las raíces

Si existen raíces reales $x_1,x_2$ , repitiendo la doble, las fórmulas de Vieta dan:

x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.

Al sumar las raíces de la fórmula obtenemos $-b/a$ ; al multiplicarlas, $(b^2-D)/(4a^2)=c/a$ . Al desarrollar $a(x-x_1)(x-x_2)$ vemos la razón: el coeficiente de $x$ es $-a(x_1+x_2)$ y la constante, $ax_1x_2$ . A la inversa, números con la suma y el producto adecuados reconstruyen el trinomio original. Aquí $4+10=14$ , $4\cdot10=40$ , así que $x^2-14x+40=(x-4)(x-10)$ .

Una raíz algebraica necesita comprobarse en contexto. Si damos la misma área, pero decimos que la longitud supera a la anchura en 6 m, resulta $x^2+6x-40=0$ . Sus raíces son 4 y −10, pero la anchura negativa no sirve: quedan lados de 4 m y 10 m.

Rama · Una precisiónUna condición adicional que una tabla puede ocultar.

Discriminante cero no implica raíz racional

Con coeficientes reales arbitrarios, $D=0$ garantiza una raíz real, no necesariamente racional. En $x^2-2\sqrt2\,x+2=0$ el discriminante es cero y la raíz es $\sqrt2$ . Para concluir racionalidad hace falta suponer coeficientes racionales.

La fórmula cuadrática nace del mismo cuadrado completo que resolvió el terreno. El discriminante comprueba la posibilidad de raíces reales; Vieta, suma y producto; y las condiciones iniciales, la validez de las cantidades obtenidas.