Necesitas marcar cinco partes iguales en un segmento, pero resulta más cómodo repetir pasos iguales en otra dirección. Las rectas paralelas permiten trasladar esas marcas conservando sus proporciones.
Las paralelas determinan segmentos correspondientes proporcionales sobre dos transversales. El segmento medio de un triángulo mide la mitad del tercer lado; el de un trapecio, la semisuma de sus bases. Usaremos paralelismo, cuadriláteros y razones numéricas habituales.
Un nombre, distintos enunciados
Los textos escolares ucranianos suelen llamar teorema de Tales al enunciado de segmentos iguales: si unas paralelas cortan segmentos consecutivos iguales en una transversal, también los cortan iguales en otra. En inglés, Thales’ theorem suele designar otro hecho: el ángulo inscrito que abarca un diámetro es recto. Lo tratamos en G008. AMSI.
Importa el enunciado exacto más que el nombre: qué rectas son paralelas y qué segmentos se corresponden.
De partes iguales a proporciones
Tomemos dos semirrectas con origen O y un ángulo estrictamente entre 0° y 180°. Dos paralelas distintas cortan la primera en el orden O,A,B y la segunda en el orden O,A′,B′. Entonces:
(OA)/(AB) = (OA′)/(A′B′), (OA)/(OB) = (OA′)/(OB′).
Por ejemplo, OA=3, AB=2 y OA′=4,5 en las mismas unidades. De 3/2=4,5/A′B′ obtenemos A′B′=3. Los segmentos completos OB=5 y OB′=7,5 también guardan la razón correspondiente 5/7,5=3/4,5. El cambio de escala en la otra semirrecta es constante. No mezcles una parte con el total ni inviertas el orden en una sola fracción.
Partes correspondientes: 3 : 2 = 4,5 : 3
Triángulo: MN = AC / 2
Trapecio: 3 + 6 = 9
Cinco pasos iguales → cinco partes
Este es el teorema de los segmentos proporcionales, con los pasos iguales como caso particular. También se cumple con tres o más paralelas distintas y dos transversales: las razones de los segmentos consecutivos correspondientes son iguales. Nuestros números solo comprueban una aplicación. El teorema general no exige una unidad común que quepa un número entero de veces en cada segmento; Euclides VI.2 demuestra la división proporcional mediante razones de áreas.
Segmento medio de un triángulo: medio lado
En el triángulo ABC, sean M el punto medio de AB y N el de BC. MN es un segmento medio. Entonces MN∥AC y MN=AC/2. Si AC=10, el segmento medio mide 5.
Podemos demostrarlo con herramientas conocidas. Prolongamos MN más allá de N hasta E, con NE=MN. Los triángulos MBN y ECN son congruentes por dos lados y el ángulo opuesto por el vértice comprendido: BN=NC y MN=NE. Así, MB=EC y MB∥EC. Como AM=MB, AMEC es un paralelogramo: AM y EC son iguales y paralelos. Por tanto, ME∥AC, ME=AC, y MN es la mitad de ME.
También sirve el recíproco: una recta por el punto medio de un lado, paralela a otro, pasa por el punto medio del tercero. Hay tres segmentos medios, según el par de lados elegido. AMSI sobre segmentos medios.
En un trapecio promediamos las bases
Sean AB∥CD, con M y N los puntos medios de los laterales AD y BC. Entonces:
MN∥AB, MN = (AB + CD)/(2).
Con bases 12 y 6 sale MN=9. ¿Por qué no 6? Trazamos la diagonal AC y llamamos K a su punto medio. En el triángulo ADC, el segmento medio MK mide CD/2=3; en ABC, KN mide AB/2=6. Ambos son paralelos a las bases y están sobre una misma recta: MN=3+6=9. Unir los puntos medios de las propias bases produce otro segmento al que no se aplica esta fórmula.
Cinco partes iguales sin dividir en la regla
Para un AB dado:
- Desde A trazamos cualquier semirrecta auxiliar que no esté sobre la recta AB.
- Con el compás marcamos cinco pasos iguales y no nulos hasta X₁,…,X₅. La longitud es arbitraria, pero mantenemos fija la abertura.
- Unimos X₅ con B.
- Por X₁,…,X₄ trazamos paralelas a X₅B. Sus intersecciones con AB lo dividen en cinco partes iguales.
Lo justifica el teorema de los segmentos iguales en dos transversales. Para AB=17 cm, cada parte mide 17/5=3,4 cm, pero no necesitamos medir primero esos 3,4 cm. Las paralelas se construyen copiando un ángulo como en G010. La división ideal es exacta; los errores del instrumento se acumulan en el dibujo físico.