Exponenciales: factores iguales en vez de incrementos iguales

Una cantidad hipotética empieza en 100 y se duplica cada tres horas: 200 a las 3 y 400 a las 6. Añadir 100 cada tres horas daría solo 300. El crecimiento exponencial conserva un factor en tiempos iguales. Usamos funciones potencia y progresiones.

$E(t)=100\cdot2^{t/3},\quad L(t)=100+\frac{100}{3}t.\qquad E(t+3)=2E(t).$

A las 1,5 horas E da $100\sqrt2\approx141{,}42$ , no 150. Los datos de períodos enteros no fijan valores intermedios: el modelo supone además factores compatibles para fracciones de período.

Factor e incremento

E(t)=100·2ᵗᐟ³; L(t)=100+100t/3

E continua duplica cada 3 h; L discontinua añade 100 cada 3 h. Coincidir al principio no implica igual crecimiento posterior. Horas, cantidad hipotética, escalas uniformes.

Exponentes reales

Las potencias fraccionarias usan raíces. Las irracionales se obtienen por extensión continua compatible con aproximaciones racionales.

$a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}\ (a>0);\quad a^{u+v}=a^ua^v.$

$f(x)=a^x$ tiene dominio ℝ y recorrido (0,∞). Crece si a>1 y decrece si 0<a<1; a=1 da la constante 1. Para exponentes reales arbitrarios se necesita base positiva. OpenStax

Por qué aparece e

Dividamos un aumento hipotético del 100% por unidad de tiempo en m capitalizaciones iguales. Para m=1,2,10,100, $(1+1/m)^m$ vale aproximadamente 2; 2,25; 2,594; 2,705. Se aproxima a e.

$\left(1+\frac1m\right)^m\longrightarrow e\approx2.71828;\qquad N(t)=N_0e^{kt}.$

k es una tasa constante por unidad de tiempo; kt no tiene dimensiones. k positivo da crecimiento y negativo, decaimiento. El tiempo de duplicación cumple $e^{kT}=2$ ; aquí T=3 horas. Esto no demuestra crecimiento real ilimitado: recursos y tasas pueden cambiar. Distingue el factor constante del modelo de una regularidad medida.