Es difícil medir directamente la altura de una farola, pero su sombra está en el suelo. Cerca podemos colocar una varilla vertical de altura conocida. ¿Por qué comparar las dos sombras nos dice algo sobre la farola?

Los triángulos semejantes tienen ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes proporcionales. Una vez establecida correctamente la semejanza, podemos hallar una longitud desconocida mediante otra, incluso sin alcanzar el objeto. Necesitamos congruencia de triángulos y segmentos proporcionales.

Primero corresponder, después dividir

ABC∼PQR fija la correspondencia A↔P, B↔Q, C↔R. A AB le corresponde PQ; a BC, QR; a CA, RP. Lo determinan los ángulos iguales en sus extremos, no qué lado parece estar «abajo» en el dibujo.

Definimos la razón de ABC a PQR:

k = (PQ)/(AB) = (QR)/(BC) = (RP)/(CA) > 0.

El dibujo pasa de 3–4–5 a 6–8–10: k=2. En sentido inverso, la razón es 1/2. Para k=1 los triángulos son congruentes. Girar o reflejar no impide la semejanza; estirar solo horizontalmente suele destruirla. AMSI.

ABC ∼ PQR, k = 2

ABCPQR3456810

Sombras: ángulos iguales, razón 4

1,5268
El primer panel usa una misma escala para ambos triángulos: AB=4, BC=5, CA=3; PQ=8, QR=10, RP=6. A↔P, B↔Q, C↔R mantiene la correspondencia de ángulos. En el segundo, todo está en metros: h=1,5, s=2, H=6, S=8. El plano horizontal común y las líneas oblicuas paralelas son supuestos del modelo solar. Escala uniforme en cada panel.

No hace falta comprobarlo todo

Para triángulos no degenerados basta uno de estos criterios:

  • AA, dos ángulos. Dos ángulos de uno son respectivamente iguales a dos del otro. Los terceros también lo son porque la suma es 180°. Euclides VI.4.
  • LAL, dos lados y el ángulo comprendido. Coinciden las razones de dos pares de lados correspondientes y son iguales los ángulos entre esos lados. VI.6.
  • LLL, tres lados. Las tres razones entre lados correspondientes coinciden. VI.5.

La idea de AA: en un lado del triángulo mayor marcamos la longitud del lado correspondiente del menor y trazamos una paralela a otro lado. El triángulo recortado es semejante al mayor por los segmentos proporcionales y los ángulos iguales; es congruente con el menor por un lado y sus ángulos adyacentes. La proporción buscada afecta, por tanto, a los tres lados.

Dos lados proporcionales solos no fijan la forma: podemos variar el ángulo entre ellos. Un ángulo igual tampoco basta. En LAL no podemos sustituir el ángulo comprendido por otro cualquiera.

¿Qué más cambia por un factor k?

Las alturas, medianas, bisectrices y perímetros correspondientes se escalan igual que los lados. Por ejemplo, 3+4+5=12 pasa a 6+8+10=24. Para las alturas, el vértice correspondiente y la perpendicular al lado correspondiente forman triángulos rectángulos semejantes. Los ángulos no se multiplican por k: se conservan.

Esto se refiere a longitudes. Las áreas siguen otra ley de escala, que estudiaremos en la lección de áreas.

Altura mediante una sombra: cuándo funciona

Para una varilla de altura h y sombra s, y una farola de altura H y sombra S, suponemos:

  1. Ambas son verticales sobre un mismo plano horizontal local.
  2. Medimos las sombras simultáneamente, desde la base hasta el extremo correspondiente, sin superposición con otras sombras.
  3. Consideramos paralelos los rayos solares en esta pequeña zona.

Así tenemos dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo determinado por los rayos. Son semejantes por AA, luego:

(H)/(h) = (S)/(s), H = h(S)/(s).

Con h=1,5 m, s=2 m y S=8 m resulta H=1,5·8/2=6 m. Primero expresamos todas las longitudes en las mismas unidades. El paralelismo de la luz es una aproximación, no una afirmación sobre cada rayo de cualquier fuente. El argumento no se traslada automáticamente a una lámpara cercana. Illustrative Mathematics: condiciones y límites.

Una respuesta honesta con medidas imperfectas

Solo para esta estimación, tomemos h=1,5 m exactamente, la sombra corta entre 1,95 y 2,05 m, y la larga entre 7,9 y 8,1 m. La menor altura calculada usa la menor sombra larga y la mayor corta; la máxima, lo contrario:

H_(min) = (1,5 ⋅ 7,9)/(2,05), H_(max) = (1,5 ⋅ 8,1)/(1,95).

Redondeando los límites hacia fuera al centímetro obtenemos 5,78–6,24 m. Es un rango bajo los errores especificados de dos longitudes, no un intervalo de confianza estadístico. No incluye la inclinación de la farola, el suelo irregular ni el error en la altura de la varilla. Por eso una medición real comienza comprobando los supuestos, antes de multiplicar tres números.