Una bomba llena un tanque en 6 horas; otra tarda 9. ¿Cuánto tardan juntas? Se suman sus caudales, no sus tiempos: la respuesta es 3 horas y 36 minutos. Suponemos caudales constantes, tanque inicialmente vacío, inicio simultáneo, ausencia de fugas y de interferencias entre bombas.
Usaremos fracciones y porcentajes y transformaciones equivalentes. Los números son datos inventados para aprender.
Nombrar la incógnita junto con su unidad
Sea t el valor numérico del tiempo conjunto en horas, t > 0. La capacidad del tanque será un trabajo completo. La primera bomba realiza 1/6 del trabajo cada hora; la segunda, 1/9. La productividad se mide en tanques por hora, no en horas.
En t horas aportan t/6 y t/9 tanques. La tabla traduce las palabras a expresiones; «juntas llenan un tanque» proporciona la igualdad.
| Bomba | Sola, h | Tanque/h | En t h |
|---|---|---|---|
| A | 6 | 1/6 | t/6 |
| B | 9 | 1/9 | t/9 |
(t)/(6) + (t)/(9) = 1.
Multiplicamos por 18: 3t + 2t = 18, de donde t = 18/5 = 3,6 horas. La parte decimal, 0,6 horas, equivale a 0,6 ⋅ 60 = 36 minutos, no a 60 ni a 6.
Comprobar la ecuación y la situación
La primera bomba llena 3,6/6 = 0,6 tanques; la segunda, 3,6/9 = 0,4. Juntas llenan exactamente uno. El tiempo es positivo y menor que 6 horas: un caudal adicional debe mejorar el tiempo de la bomba más rápida sola. Trabajo conjunto, OpenStax §8.8.
La media (6 + 9)/2 = 7,5 horas no sirve: sería incluso más lenta que la primera bomba sola. Si el caudal cambia con el nivel o ambas comparten un conducto limitado, hace falta otro modelo. El álgebra no verifica por nosotros estos supuestos.
Movimiento: relacionar los tiempos
A velocidad constante, s = vt: distancia igual a velocidad por tiempo. Recorrer la misma distancia d km a 60 en lugar de 80 km/h añade media hora. Por tanto:
(d)/(60) − (d)/(80) = (1)/(2).
Ambos cocientes son horas. Multiplicamos por 240: 4d − 3d = 120, luego d = 120 km. Comprobación: 2 horas frente a 1,5 horas, diferencia de 0,5 horas. No se incluyen paradas adicionales. Tablas y unidades del movimiento, OpenStax §8.8.
Mezclas: identificar qué se conserva
Tenemos 20 kg de jarabe con 10% de azúcar en masa. ¿Cuántos kilogramos de jarabe al 40% añadimos para obtener una mezcla al 20%? Sea x ≥ 0 la masa añadida en kilogramos. Sin pérdidas ni evaporación se conservan la masa total y la masa de azúcar:
0,10 ⋅ 20 + 0,40x = 0,20(20 + x).
A la izquierda está la masa de azúcar de las dos porciones iniciales; a la derecha, la de la mezcla final. Resulta 2 + 0,4x = 4 + 0,2x, luego x = 10 kg. Comprobación: 2 + 4 = 6 kg de azúcar en 30 kg de mezcla; 6/30 = 20%. No sumamos litros como kilogramos ni suponemos que los volúmenes líquidos siempre se suman directamente.
Rama · La base del porcentajeRelación con la explicación anterior de porcentajes.
Por qué no promediar los dos porcentajes
(10% + 40%)/2 = 25% correspondería a masas iguales. Aquí el primer jarabe pesa 20 kg y el segundo 10 kg: el menos concentrado tiene el doble de peso en la media. Multiplicar cada fracción por su masa recupera las cantidades de azúcar, que sí se pueden sumar.
La ecuación nace de una relación: suma de partes realizadas, diferencia de tiempos o conservación de masa. Nombra la incógnita y su unidad, escribe la relación, resuelve y devuelve el resultado a las condiciones iniciales.