Valor absoluto: distancia, tolerancia y casos

Una pieza tiene una dimensión nominal hipotética de 50 mm. La desviación admitida es como máximo 0,2 mm en cualquier dirección. ¿Por qué 49,9 mm sirve igual que 50,1 mm? Importa el tamaño de la desviación, no su signo. El valor absoluto expresa ese tamaño.

Usamos números reales y desigualdades. Es un ejemplo matemático, no una norma de fabricación; no modelamos la incertidumbre de medida.

El valor absoluto elimina la dirección de la distancia

Para $u$ real, $|u|$ vale $u$ si $u\ge0$ , y $-u$ si $u<0$ . Así, $|3|=3$ , $|-3|=3$ y $|0|=0$ . En el segundo caso $-u$ es positivo: si $u=-3$ , entonces $-u=3$ . El valor absoluto nunca es negativo, pero no siempre es positivo.

$|x-a|$ es la distancia entre $x$ y $a$ en la recta numérica. Sea $x$ el valor numérico de la dimensión en milímetros. La tolerancia exige:

|x-50|\le0{,}2\quad\Longleftrightarrow\quad49{,}8\le x\le50{,}2.

Ambos extremos se incluyen. 49,7 no sirve: la distancia 0,3 supera 0,2. La notación ± describe todo el intervalo, no solo sus dos extremos.

Por qué aparece una desigualdad doble

Estar a una distancia como máximo $r\ge0$ de $a$ significa no cruzar ninguno de los límites: $-r\le x-a\le r$ . Sumamos $a$ en las tres partes: $a-r\le x\le a+r$ . Aquí corresponde «y». Distancia y desigualdades, OpenStax §2.7.

Dimensiones admitidas

Distancia al nominal

La misma condición |x−50|≤0,2: el segmento [49,8;50,2] y la parte de la gráfica en o bajo y=0,2. Escalas uniformes; los ejes usan escalas distintas.

En la gráfica, cada coordenada horizontal $x$ tiene una vertical $y=|x-50|$ , la desviación numérica en mm. A la izquierda de 50, $y=50-x$ ; a la derecha, $y=x-50$ . Las dos rectas se unen en $(50,0)$ . Los puntos en o bajo $y=0{,}2$ corresponden exactamente a los $x$ admitidos.

Una ecuación da bordes; una desigualdad, una región

Para $|2x-4|=6$ , la expresión interior debe valer 6 o −6. De $2x-4=6$ obtenemos $x=5$ ; de $2x-4=-6$ , $x=-1$ . Sustituir confirma ambos. Para $|2x-4|\le6$ tenemos $-6\le2x-4\le6$ , por tanto todo el segmento $-1\le x\le5$ . Ecuaciones y gráficas, OpenStax §3.6.

La exigencia opuesta $|x-50|>0{,}2$ significa $x<49{,}8$ o $x>50{,}2$ : dos semirrectas exteriores. Cambiar «o» por «y» sería imposible: ningún número está por debajo del límite inferior y por encima del superior a la vez.

La expresión interior determina los casos

En $|x-1|=2x+1$ , el lado derecho debe ser no negativo: $x\ge-1/2$ . Si $x\ge1$ , el módulo se abre como $x-1$ ; la ecuación da $x=-2$ , contrario a la condición de ese caso. Si $x<1$ , usamos $1-x=2x+1$ y obtenemos $x=0$ . Pertenece a su caso y satisface la igualdad original: $1=1$ . Solo queda 0.

Comprueba también el umbral: $|u|\le0$ significa $u=0$ , mientras que $|u|<0$ y $|u|=-2$ no tienen solución. La distancia orienta los casos antes de transformar: dentro de los límites corresponde «y»; fuera, «o»; una distancia negativa es imposible.