Модуль: відстань, допуск і розгалуження випадків

Чому допуск 50 ± 0,2 мм записують через модуль, як розкривати його за знаком і відрізняти внутрішній інтервал від зовнішніх променів.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.6 хв читанняЧастина 18 з 51

Деталь має умовний номінальний розмір 50 мм. Прийнятне відхилення — не більше ніж 0,2 мм у будь-який бік. Чому деталь 49,9 мм підходить так само, як 50,1 мм? Важливий розмір відхилення, а не його знак. Саме його виражає модуль.

Потрібні дійсні числа та нерівності. Це математичний приклад, а не виробничий стандарт; похибку вимірювання тут не моделюємо.

Модуль прибирає напрям відстані

Для дійсного $u$ модуль $|u|$ дорівнює $u$ , якщо $u\ge0$ , і $-u$ , якщо $u<0$ . Тому $|3|=3$ , $|-3|=3$ , $|0|=0$ . Запис $-u$ у другому випадку додатний: якщо $u=-3$ , то $-u=3$ . Модуль ніколи не від’ємний, але не обов’язково додатний.

$|x-a|$ — відстань між точками $x$ та $a$ на числовій прямій. Нехай $x$ — числове значення розміру деталі в міліметрах. Тоді вимога допуску:

|x-50|\le0{,}2\quad\Longleftrightarrow\quad49{,}8\le x\le50{,}2.

Обидві межі включено. Значення 49,7 не підходить: відстань 0,3 більша за 0,2. Символ ± у розмірі описує весь інтервал, а не лише два крайні числа.

Чому виникає подвійна нерівність

Бути на відстані не більшій за $r\ge0$ від $a$ — означає не виходити за жодну з двох меж: $-r\le x-a\le r$ . Додаємо $a$ в усі три частини: $a-r\le x\le a+r$ . Тут працює «і». Відстань і нерівності, OpenStax §2.7.

Допустимі розміри

Відстань від номіналу

Одна й та сама умова |x−50|≤0,2: відрізок [49,8;50,2] та частина графіка на рівні y=0,2 або нижче. Шкали рівномірні, осі мають різні масштаби.

На графіку кожній горизонтальній координаті $x$ відповідає вертикальна $y=|x-50|$ , числове відхилення в мм. Ліворуч від 50 це $y=50-x$ , праворуч — $y=x-50$ . Дві прямі сходяться в $(50,0)$ ; нижче або на рівні $y=0{,}2$ опиняються саме допустимі $x$ .

Рівняння дає краї, нерівність — область

Для $|2x-4|=6$ підмодульний вираз має бути 6 або −6. З $2x-4=6$ отримуємо $x=5$ , з $2x-4=-6$ — $x=-1$ . Підстановка підтверджує обидва корені. Для $|2x-4|\le6$ маємо вже $-6\le2x-4\le6$ , тому $-1\le x\le5$ — увесь відрізок. Рівняння та графіки, OpenStax §3.6.

Протилежна вимога $|x-50|>0{,}2$ означає $x<49{,}8$ або $x>50{,}2$ : зовнішні промені. Не можна замінити «або» на «і» — число не буває одночасно ліворуч від нижньої та праворуч від верхньої межі.

Випадки обирає вираз під модулем

У $|x-1|=2x+1$ права частина має бути невід’ємною, отже $x\ge-1/2$ . Якщо $x\ge1$ , розкриваємо модуль як $x-1$ : рівняння дає $x=-2$ , що суперечить умові випадку. Якщо $x<1$ , маємо $1-x=2x+1$ , звідки $x=0$ . Він належить своєму випадку й задовольняє початкову рівність: $1=1$ . Відповідь — тільки 0.

Поріг також перевіряємо: $|u|\le0$ означає $u=0$ , а $|u|<0$ та $|u|=-2$ не мають розв’язків. Відстань підказує правильні випадки до будь-яких перетворень: усередині меж потрібне «і», за межами — «або», а від’ємна відстань неможлива.

← До журналу