Показникові й логарифмічні рівняння

Коли умовна величина зі стартом 100 і подвоєнням за 3 години досягне 300? Рівняння шукає час, а логарифм повертає невідомий показник. Потрібні перевірка рівнянь, експонента та логарифми.

$100\cdot2^{t/3}=300\iff2^{t/3}=3\iff t=3\log_2 3\approx4.755.$

Час t у годинах, t≥0. Значення приблизне: підстановка точної форми дає $100\cdot2^{\log_2 3}=300$ . За спільної основи a>0, a≠1 рівність aᵘ=aᵛ рівносильна u=v. За різних основ можна логарифмувати обидві додатні частини; логарифм нуля чи від’ємного числа заборонений.

Коли досягнуто поріг

Q(t)=100·2ᵗᐟ³; Q=300

Суцільна Q(t)=100·2ᵗᐟ³, штрихова межа 300. Перетин t=3log₂3≈4,755 год; кількість умовна. Шкали рівномірні, час неперервний.

Заміна має допустимі значення

$4^x-3\cdot2^x-4=0;\quad u=2^x>0;\quad(u-4)(u+1)=0.$

u=−1 відкидаємо: показникова функція додатна. u=4 дає x=2; перевірка 16−12−4=0. Повернення до x — обов’язковий крок.

Область перевіряємо до об’єднання логарифмів

$\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3;\qquad x>3.$

Обидва початкові аргументи мають бути додатними. Тільки на цій області можна об’єднати логарифми:

$(x-1)(x-3)=8\iff(x-5)(x+1)=0.$

Кандидати 5 і −1; лишається 5, бо −1 порушує область. Для 5 маємо log₂4+log₂2=2+1=3. Логарифм добутку може існувати там, де окремі логарифми не існують: область не можна розширювати.

Система з новою змінною

$\log_2x+y=3,\quad\log_2x-y=1\quad(x>0).$

Нехай u=log₂x. Додавання й віднімання дають u=2, y=1, отже x=4. Підстановка підтверджує обидві рівності. OpenStax Перед кожною відповіддю поверніться до початкових аргументів, знаків і фізичної області; перетворена формула сама їх не зберігає.