Висоту ліхтарного стовпа важко виміряти напряму, але його тінь лежить на землі. Поруч можна поставити короткий вертикальний стрижень відомої висоти. Чому порівняння двох тіней узагалі щось каже про стовп?
Подібні трикутники мають відповідно рівні кути й пропорційні відповідні сторони. Тому за правильно встановленої подібності одну невідому довжину можна знайти через іншу — навіть без прямого доступу до об’єкта. Потрібні рівність трикутників та пропорційні відрізки.
Спочатку відповідність, потім ділення
Запис ABC∼PQR задає відповідність A↔P, B↔Q, C↔R. Стороні AB відповідає PQ, стороні BC — QR, стороні CA — RP. Це визначається рівними кутами при кінцях, а не тим, яка сторона виглядає «нижньою» на рисунку.
Домовимося рахувати коефіцієнт від ABC до PQR:
k = (PQ)/(AB) = (QR)/(BC) = (RP)/(CA) > 0.
У схемі 3–4–5 переходить у 6–8–10, тому k=2. У зворотному напрямку коефіцієнт 1/2. При k=1 трикутники рівні. Поворот чи дзеркальне відображення не заважає подібності; розтягнення тільки по горизонталі зазвичай її руйнує. AMSI.
ABC ∼ PQR, k = 2
Тіні: однакові кути, масштаб 4
Не потрібно перевіряти все одразу
Для невироджених трикутників достатньо однієї ознаки:
- AA, за двома кутами. Два кути одного відповідно рівні двом кутам другого. Треті тоді теж рівні, бо сума 180°. Евклід VI.4.
- SAS, за двома сторонами й кутом між ними. Відношення двох відповідних пар сторін однакові, а кути між цими сторонами рівні. VI.6.
- SSS, за трьома сторонами. Усі три відношення відповідних сторін однакові. VI.5.
Ідея доказу AA: на стороні більшого трикутника відкладаємо довжину відповідної сторони меншого та проводимо паралель до іншої сторони. Відтинається трикутник, подібний більшому за пропорційними відрізками й рівними кутами; меншому він рівний за стороною та прилеглими кутами. Отже, потрібна пропорція стосується всіх трьох сторін.
Дві пропорційні сторони без умови про кут не визначають форму: між ними можна розкривати різні кути. Один однаковий кут теж недостатній. Для SAS кут не можна довільно замінити на інший.
Що ще змінюється в k разів
Відповідні висоти, медіани, бісектриси й периметри масштабуються так само, як сторони. Наприклад, сума сторін 3+4+5=12 переходить у 6+8+10=24. Для висот причина така: відповідна вершина й перпендикуляр до відповідної сторони утворюють подібні прямокутні трикутники. Кути при цьому не множимо на k — вони зберігаються.
Твердження стосується довжин. Площі мають інший закон масштабування, який розберемо в уроці про площі.
Висота за тінню: коли модель працює
Для стрижня висоти h з тінню s та стовпа висоти H з тінню S припускаємо:
- Обидва стоять вертикально на одній місцевій горизонтальній площині.
- Тіні виміряно одночасно, від основи до відповідного кінця, без перекриття іншими тінями.
- Сонячні промені в цій невеликій ділянці вважаємо паралельними.
Тоді маємо два прямокутні трикутники з однаковим гострим кутом від променів. За AA вони подібні, тому:
(H)/(h) = (S)/(s), H = h(S)/(s).
При h=1,5 м, s=2 м і S=8 м дістаємо H=1,5·8/2=6 м. Усі довжини спочатку приводимо до одних одиниць. Паралельність світла — наближення, а не твердження про кожен промінь будь-якого джерела. Для близької лампи цей аргумент не переноситься автоматично. Illustrative Mathematics: умови та межі методу.
Чесна відповідь із неточними вимірами
Нехай лише для оцінки h=1,5 м точно, мала тінь лежить у межах 1,95–2,05 м, велика — 7,9–8,1 м. Найменша розрахована висота виходить із найменшої великої тіні й найбільшої малої; найбільша — навпаки:
H_(min) = (1,5 ⋅ 7,9)/(2,05), H_(max) = (1,5 ⋅ 8,1)/(1,95).
З округленням меж назовні до сантиметра отримуємо 5,78–6,24 м. Це діапазон за заданими похибками двох довжин, не статистичний довірчий інтервал. Нахил стовпа, нерівна земля та помилка висоти стрижня в нього не включені. Тому реальне вимірювання починається з перевірки припущень, а не з множення трьох чисел.