Одна ділянка може виглядати як два трикутники або як прямокутник із двома боковими клинами. Якщо виміри ті самі й частини не перекриваються, результат має збігтися. Це корисніше за спробу впізнати формулу за силуетом.
Площа додається при розбитті без накладання, а перенесення чи поворот шматка її не змінює. Тому багато формул площі походять із прямокутника й трикутника. Спираємося на чотирикутники, тригонометрію та теореми синусів і косинусів.
Одиниця — квадрат, а не відрізок
За 1 м² беремо квадрат 1×1 м. У прямокутнику зі сторонами a,b маємо S=ab: для цілих розмірів це просто кількість одиничних квадратів, для дробових — подрібнення сітки. Загальна формула діє й для ірраціональних довжин; скінченна сітка сама не є доказом цього продовження.
Оскільки 1 м=100 см, то 1 м²=10 000 см². Множник 100 застосовується двічі. Периметр натомість має одиницю довжини: прямокутники 4×3 та 6×2 мають однакову площу 12, але різні периметри 14 та 16.
Рівновеликі фігури мають однакову площу. Рівноскладені можна розрізати на скінченну кількість попарно рівних шматків і зібрати з них одна одну. Такий перехід пояснює рівність площ; він не означає, що початкові фігури рівні як цілі. AMSI, принцип розбиття.
З прямокутника — паралелограм і трикутник
У показаному паралелограмі відрізаємо кутовий трикутник і переносимо на інший край. Утворюється прямокутник із тією самою основою a та висотою h. Отже, S=ah. Похила сторона не замінює h: потрібна перпендикулярна відстань між прямими основ.
Два рівні примірники довільного трикутника утворюють паралелограм із тією самою основою та висотою. Тому площа трикутника — половина:
S_(△) = (ah)/(2).
Якщо висота виходить за межі трикутника, формула не змінюється: відстань від вершини до прямої основи лишається висотою.
Відрізати й перенести
Трапеція: 12 + 6 = 18
Та сама трапеція: 3 + 12 + 3
Герон і висота: 7–8–9
Трапеція: одна ділянка, два розбиття
Діагональ трапеції ділить її на два трикутники. Їхні основи — паралельні сторони a й b, висота одна й та сама h. Тому:
S = (ah)/(2) + (bh)/(2) = (a + b)/(2)h.
У власному прикладі основи 8 м і 4 м, висота 3 м. Перше розбиття дає 12+6=18 м². Друге — середній прямокутник 4×3 та два прямокутні трикутники з катетами 2 і 3: 12+3+3=18 м². Це одна площа, а не випадковий збіг двох формул.
Для довільного простого многокутника шукаємо поділ на трикутники без накладання. Якщо є отвір, віднімаємо його площу один раз. Прихована пастка — взяти висоти двох частин до різних основ, але підставити одне й те саме число.
Ромб: працюють і висота, і діагоналі
Ромб — паралелограм, тому S=ah. Його перпендикулярні діагоналі d₁,d₂ діляться навпіл і утворюють чотири прямокутні трикутники. Сума їхніх площ дає:
S_(ромба) = (d_(1)d_(2))/(2).
Добуток d₁d₂ без половини був би завеликий удвічі. Перпендикулярність тут істотна: формулу не переносимо без перевірки на довільні діагоналі іншого чотирикутника.
Коли відомі дві сторони й кут
У трикутнику a й b утворюють кут C. Висота до a дорівнює b sinC, тому:
S = (1)/(2)absinC.
Це працює для 0°<C<180°, включно з тупим кутом: синус додатний. Якщо всі довжини збільшити в k разів, площа збільшиться в k² разів. Периметр при цьому множиться лише на k.
Так само чотири трикутники біля перетину діагоналей опуклого чотирикутника дають S=d₁d₂sinφ/2, де φ — кут між діагоналями. У ромба φ=90°, тому ця формула переходить у вже отриману половину добутку діагоналей.
Для правильного n-кутника можна скласти n рівних центральних трикутників: із периметром P та апофемою r площа S=Pr/2. Це той самий принцип, а не окрема непов’язана формула.
Три сторони: формула Герона
Спершу перевіряємо нерівності трикутника. Для додатних a,b,c кожна сторона має бути меншою за суму двох інших. Нехай p=(a+b+c)/2 — півпериметр. Тоді:
S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).
Для сторін 7,8,9 м маємо p=12 м і S=√(12·5·4·3)=12√5≈26,83 м². Незалежна перевірка: при основі 9 м висота дорівнює 8√5/3 м, тому 9·(8√5/3)/2=12√5 м². Під коренем добуток чотирьох довжин має одиницю м⁴; після кореня виходить м². OpenStax, формула Герона.
Інші відомі даніНеобов’язково · можна пропустити
Якщо відомий радіус кола трикутника
Для вписаного кола радіуса r трикутник ділиться від його центра на три частини з висотами r. Тому S=(a+b+c)r/2=pr. Для описаного кола радіуса R теорема синусів дає sinC=c/(2R), звідки S=abc/(4R). Центри цих двох кіл загалом різні, як у G009.
Для нашого трикутника 7–8–9 площа 12√5 дає r=S/p=√5, R=abc/(4S)=10,5/√5. Кожна формула описує ту саму площу за іншими відомими даними.
Деталь виведенняНеобов’язково · можна пропустити
Як Герон випливає з косинусів
Із S=ab sinC/2 та формули cosC=(a²+b²−c²)/(2ab) отримуємо:
16(S)^(2) = 4(a)^(2)(b)^(2) − ((a)^(2) + (b)^(2) − (c)^(2))^(2).
Різниця квадратів розкладається на (a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c). Через півпериметр це 16p(p−a)(p−b)(p−c). Ділимо на 16 і беремо додатний корінь. Тригонометричне виведення, University of Georgia.