Рівняння як баланс: знайти невідоме й не загубити розв’язки

Рахунок із невідомою ціною пояснює рівносильні переходи. Чому ділення на змінну втрачає корені, а квадрат може додавати сторонні.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.6 хв читанняЧастина 10 з 51

Три однакові товари разом із доставленням за 40 грн коштують 250 грн. Яка ціна одного товару? Нехай $x$ — ціна в гривнях. Рахунок дає $3x+40=250$ , звідки $x=70$ . Щоб дістатися відповіді, ми змінюємо обидві частини рівності однаково й стежимо, чи можна повернутися назад.

Змінна називає невідоме, а допустимі значення визначають, де запис має зміст. Тут алгебра дозволяє всі дійсні $x$ ; контекст ціни вимагає невід’ємного значення.

Корінь робить рівність правильною

Рівняння — рівність із невідомими. Корінь, або розв’язок рівняння з одним невідомим, — допустиме число, підстановка якого робить її правильною. Для нашого рахунку $3\cdot70+40=250$ ; число 60 не підходить, бо дає 220.

Рівносильні рівняння мають ту саму множину розв’язків. Щоб зберегти її, важливо не лише отримати правильну нову рівність із попередньої, а й мати зворотний перехід.

Віднімемо 40 з обох частин: $3x=210$ . Потім поділимо обидві на ненульове число 3: $x=70$ . Обидві дії зворотні — можна помножити на 3 й додати 40, тому жодного кореня не загублено й не додано.

Додати визначене: ↔ на тій самій області
Поділити на вираз: ↔ лише якщо він ≠ 0
Піднести до квадрата: ⇒ перевірити кандидатів

Однакова дія з обох боків зберігає рівність. Баланс — аналогія рахунку в гривнях, не модель маси.

«Перенести через дорівнює» — скорочений запис дії

У $5x-8=2x+13$ віднімаємо $2x$ та додаємо 8 з обох боків. Отримуємо $3x=21$ , тобто $x=7$ . Зміна знака при «перенесенні» не магія: вона приховує додавання протилежного виразу до обох частин.

Додати чи відняти той самий визначений вираз можна без зміни розв’язків на початковій області. Множити або ділити на той самий вираз рівносильно лише там, де він визначений і ненульовий. Для сталого ненульового числа ця умова виконується автоматично. Властивості рівностей, OpenStax §2.2.

Три результати для ax = b

Після спрощення лінійні задачі зводяться до $ax=b$ , де $a,b$ — задані числа. Якщо $a\ne0$ , корінь єдиний: $x=b/a$ .

Але $a=0$ потребує окремої відповіді. $0x=0$ правильне для всіх дійсних $x$ . $0x=5$ неправильне для кожного $x$ , тому коренів немає. Наприклад, $2(x+1)=2x+2$ зводиться до $0=0$ , а $2(x+1)=2x+3$ — до $0=1$ . Ділити нуль на нуль, щоб «знайти x», не можна.

Звідки беруться втрачені й сторонні корені

У $x(x-2)=0$ корені 0 та 2. Якщо без умови поділити на $x$ , лишиться $x-2=0$ : корінь 0 втрачено, бо саме при ньому ділення було заборонене. Безпечніше використати нульовий добуток або окремо розглянути $x=0$ і $x\ne0$ .

Піднесення до квадрата може діяти навпаки: з $x=-2$ випливає $x^2=4$ , але друге рівняння допускає ще й $x=2$ . Це рівняння-наслідок: кожний старий розв’язок зберігається, проте можуть з’явитися нові. Їх називають сторонніми щодо початкового рівняння. Символ $\Rightarrow$ позначає один напрям, $\Leftrightarrow$ — обидва.

Відгалуження · ПеревіркаЧому перевірка кандидатів потрібна, але не завжди достатня.

Що підстановка не здатна виправити

Підстановка числа 2 у $x=-2$ відсіє сторонній корінь. Але якщо після ділення на $x$ ми знайшли лише 2 для $x(x-2)=0$ , перевірка підтвердить його й не підкаже пропущений 0. Повноту відповіді забезпечують правильні переходи або повний поділ на випадки, а не лише перевірка того, що вдалося знайти.

Розв’язати рівняння — означає знайти всі допустимі корені або довести їх відсутність. У рахунку відповідь 70 грн повертає правильний підсумок; у складніших задачах до цієї перевірки додається контроль кожного незворотного кроку.