Дві балки на різних рівнях не торкаються. На фотографії їхні напрямки можуть навіть перетинатися. Чи є вони паралельними? На площині вистачало відповіді «не перетинаються», у просторі потрібна ще одна умова.
Дві різні прямі простору паралельні, якщо лежать у спільній площині й не перетинаються. Якщо спільної площини немає, прямі мимобіжні. Плоский рисунок не визначає цього сам: потрібні відомості про просторову фігуру. Повертаємося до аксіом і доказу, паралельних прямих та паралелограмів.
Площина не закінчується на краю намальованого
Точка, пряма й площина — основні поняття стереометрії. Площина рівна, необмежена й без товщини. Намальований паралелограм показує лише її фрагмент, а не чотири справжні краї. Так само ребро куба — відрізок; пряма AB продовжується за обидва кінці ребра AB.
В евклідовій моделі спираємося на такі вихідні положення:
- Через три точки, які не лежать на одній прямій, проходить одна й лише одна площина.
- Якщо дві різні точки прямої лежать у площині, вся пряма лежить у ній.
- Дві різні площини зі спільною точкою перетинаються по прямій через цю точку.
- Для кожної площини існують точки на ній і поза нею.
Це аксіоми моделі, а не результати вимірювання нашої ілюстрації. Плоска стільниця дає інтуїцію, але її край і товщина не належать ідеальній площині. AMSI, точки, прямі та площини.
Як однозначно задати площину
Трьох точок на одній прямій недостатньо: навколо цієї прямої можна повертати безліч площин. Натомість площину задають три неколінеарні точки, пряма й точка поза нею, дві прямі, що перетинаються, або дві різні паралельні прямі.
Наприклад, через пряму AB та точку C поза нею беремо точки A,B,C. За першою аксіомою площина єдина, за другою вона містить всю AB. Цей короткий доказ пояснює спосіб задання, а не додає нове непов’язане правило.
Три випадки для різних прямих
Використаємо куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Нижні A,B,C,D йдуть послідовно навколо грані; кожна верхня вершина стоїть над відповідною нижньою. Його грані — квадрати, тому протилежні сторони грані паралельні.
Паралельні AB і CD
Перетин у B
Мимобіжні AB і CC₁
Прямі та площини α, β
AB і CD лежать у площині нижньої грані й не перетинаються — вони паралельні. AB і BC мають спільну точку B — перетинаються. AB і CC₁ не мають спільної площини — мимобіжні. Збіг двох назв однієї прямої є окремим випадком, не четвертим випадком для різних прямих. Purdue, взаємне розміщення прямих.
Чому AB і CC₁ не можуть лежати в одній площині? Якби така площина існувала, вона містила б AB і C, отже, збігалася б з нижньою площиною ABC. Але тоді вона містила б і C₁, який не лежить у нижній площині. Суперечність. Так працює єдиність площини; одного зовнішнього вигляду рисунка недостатньо.
Пряма та площина: нуль, одна або всі точки
Позначимо верхню площину α, нижню β. Пряма AB лежить у β. AA₁ перетинає β тільки в A. AB не має жодної спільної точки з α, тому AB паралельна α. У прийнятій тут термінології пряму, що лежить у площині, не називаємо паралельною цій площині.
Ознака: якщо l не лежить у α і паралельна деякій прямій m цієї площини, то l∥α. У кубі AB∥A₁B₁, а A₁B₁ лежить у α. Умова «l не лежить у α» обов’язкова: у самій площині теж можна знайти паралельні прямі, але вони мають із нею всі свої точки.
AB∥A_(1)B_(1), AB∥α, AB⊂β.
Дві площини та дві пари напрямків
Дві різні площини або не мають спільних точок і паралельні, або перетинаються по прямій. Збіг означає одну площину з двома назвами. Верхня α та нижня β нашого куба паралельні. Передня площина ABB₁A₁ перетинає нижню по AB.
Щоб довести паралельність різних площин, достатньо двох прямих, що перетинаються в одній, відповідно паралельних двом прямим другої. Для β та α це AB∥A₁B₁ і AD∥A₁D₁. Двох напрямків досить, щоб визначити площину.
Однієї пари недостатньо: CD нижньої грані паралельна A₁B₁ передньої, хоча ці площини перетинаються по AB. Також січна площина перетинає дві паралельні площини по паралельних прямих. Інакше спільна точка цих прямих належала б обом паралельним площинам, що неможливо.
Чому працює ознакаНеобов’язково · можна пропустити
Від паралельних прямих до паралельної площини
Нехай l∥m, m лежить у α, а l не лежить у α. Через l і m проходить площина γ, відмінна від α. Їхня лінія перетину — m. Якби l перетнула α в X, то X належала б і γ, отже, лежала б на m. Але l і m паралельні й не мають спільних точок. Тому l не перетинає α.
Що не можна зчитати з ракурсу
На плоскому зображенні мимобіжні прямі можуть виглядати такими, що перетинаються; частина прямої може виходити за намальований фрагмент площини й усе ще їй належати. Не вимірюємо на такому рисунку справжні кути чи довжини ребер. Спочатку встановлюємо спільні точки та площини з умови, потім використовуємо рисунок для пояснення цих зв’язків.