Покладіть транспортир уздовж похилої лінії на фотографії даху: результат зміниться, якщо фотограф обійде будинок. Як знайти справжній нахил? Потрібно вибрати просторовий кут, а потім площину, у якій його вимірюють. Для нашої моделі вистачить одного прямокутного трикутника.
Який саме кут шукаємо
Передумови: тригонометрія прямокутного трикутника, прямі й площини, перпендикуляр, похила та проєкція.
Кут між двома неорієнтованими прямими — менший кут між їхніми напрямками, від 0° до 90°. Для паралельних або збіжних прямих він дорівнює 0°. Якщо прямі мимобіжні, через одну точку проводимо паралельні їм прямі й вимірюємо вже їхній кут. Перенесення не змінює напрямків. Тому мимобіжні прямі теж можуть мати кут 90°, хоча не перетинаються; слово «перпендикулярні» далі може означати саме цю перпендикулярність напрямків.
Кут векторів із G021 інший: стрілки задають орієнтацію, тому їхній кут може досягати 180°. Прямі стрілок не мають: кути 40° і 140° дають той самий менший кут 40°.
Кут між прямою та площиною — кут прямої з її ортогональною проєкцією. Для прямої в площині або паралельної їй це 0°. Для перпендикуляра це 90°; його проєкція — точка, тому цей випадок задаємо окремо. Не можна замінювати проєкцію довільною лінією на підлозі.
Дах: знайти правильний переріз
Задамо власний ідеальний дах: карниз горизонтальний, поверхня скату — площина. На відстані 2,4 м від карниза в горизонтальному напрямку, перпендикулярному до карниза, висота зростає на 1,8 м. Відрізок уздовж цього скату має довжину √(2,4²+1,8²)=3 м. Це модель, а не вимірювання реальної конструкції.
Дві півплощини зі спільною граничною прямою утворюють двогранний кут. Його ребро — карниз. Переріжемо обидві грані площиною, перпендикулярною до ребра: кут між отриманими променями є лінійним кутом двогранного. Кожен промінь має бути перпендикулярний до ребра у своїй грані. Довільний косий переріз не підходить.
Переріз упоперек карниза
Справжній кут у площині перерізу
За означенням тангенса у правильному перерізі:
tanθ = (1,8)/(2,4) = 0,75, θ ≈ 36,87°.
Це одночасно нахил скату до горизонтальної площини й кут показаного поперечного відрізка з його горизонтальною проєкцією. Ухил 75% означає відношення підйому до горизонтального пробігу, помножене на 100%; це не кут 75°. Підйом, поділений на похилу довжину, дає синус: 1,8/3=0,6.
Для симетричного двосхилого даху внутрішній кут під коником дорівнює 180°−2θ≈106,26°. Натомість менший кут між двома повними площинами скатів — приблизно 73,74°. Отже, потрібно називати конкретні півплощини: двогранний кут може бути тупим, хоча кут між площинами за домовленістю лежить від 0° до 90°.
Коли площини перпендикулярні
Якщо лінійний кут дорівнює 90°, площини перпендикулярні. Зручна ознака: площина, яка містить пряму, перпендикулярну до іншої площини, перпендикулярна до неї. Так вертикальний поперечний переріз перпендикулярний до горизонтальної підлоги.
Це не означає, що будь-яка пряма однієї площини перпендикулярна до будь-якої прямої іншої. У двох стінах можна вибрати прямі, паралельні спільному вертикальному ребру: вони будуть паралельними між собою.
Відстань — найкоротший дозволений шлях
Для розглянутих тут прямих і площин відстань — найменша довжина відрізка між точками фігур. Спільна точка дає відстань 0; збільшувати рисунок для пошуку «зазору» не потрібно.
- Від точки до прямої або площини — довжина перпендикуляра; якщо точка належить фігурі, відстань 0.
- Між паралельними площинами — довжина спільного перпендикуляра. Між підлогою та паралельною площиною на висоті 2,2 м це 2,2 м.
- Від паралельної прямої до площини — відстань від будь-якої точки прямої. Якщо пряма перетинає площину або лежить у ній, відстань 0.
- Між паралельними прямими — довжина спільного перпендикуляра; для прямих, що перетинаються, — 0.
Обмеження фігури має значення. Перпендикуляр до нескінченної прямої може потрапити за межі відрізка; тоді найближчим на відрізку буде один із кінців. Так само відстань до площини не завжди дорівнює відстані до обмеженої ділянки даху.
Необов’язкове поглибленняОсновний маршрут можна продовжити без цього розрахунку.
Відгалуження · Мимобіжні прямі
Уявімо горизонтальну пряму a та іншу горизонтальну пряму b на 2 м вище, напрямок якої перпендикулярний до напрямку a. Їхні проєкції на підлогу перетинаються в H. Точка K над H належить b, а H належить a. Відрізок HK довжини 2 м перпендикулярний до обох прямих.
Якщо відійти від H уздовж a на r, а від K уздовж b на s, два застосування теореми Піфагора дають квадрат відстані r²+s²+4≥4. Мінімум 2 м досягається лише при r=s=0. Це власний приклад спільного перпендикуляра мимобіжних прямих. Загалом він існує та єдиний; довільний відрізок, що сполучає прямі, ним не є.
Отже, спершу вибираємо напрямки, проєкцію чи переріз, а вже потім рахуємо. Кут на фотографії та довільна похила відстань не замінюють цих побудов.
Джерела й межі
Означення та випадки відстаней звірено зі шкільним підручником Істера, геометрія 10 клас, §§10–12. Додаткова перевірка: Евклід, XI, означення 6–8 — переріз двох площин перпендикулярно до ребра; XI.18 — ознака перпендикулярності площин. Числа, дах і обґрунтування мінімуму — власні навчальні моделі; навантаження, міцність та будівельні нормативи тут не оцінюємо.