Два однакові годинники розходяться в показах, хоча жоден не зламався. Один пролітає повз лабораторію: її синхронізовані годинники відлічують 10 секунд, а на ньому минає лише 8. Це можливо за швидкості 60% швидкості світла в умовному прикладі спеціальної теорії відносності.
Рухомий годинник накопичує менше власного часу між двома своїми подіями, ніж становить часовий інтервал між цими подіями в лабораторній інерційній системі. Це твердження про конкретні вимірювання, а не про повільне відчуття часу в каюті. Розберімо, звідки береться різниця.
Спочатку домовмося, що порівнюємо
Уявімо лабораторію далеко від масивних тіл, де на потрібному масштабі можна знехтувати гравітацією та користуватися плоским простором-часом. Її інерційна система відліку не обертається й не прискорюється; вільні тіла рухаються рівномірно та прямолінійно. Повз неї з сталою швидкістю пролітає корабель.
Виберімо дві події: рухомий годинник видає перший сигнал, а пізніше — другий. На кораблі обидві події трапляються біля того самого годинника. Показаний ним інтервал — його власний час. У лабораторній системі корабель встиг переміститися, тож події відбулися в різних місцях. Час кожної можна зафіксувати місцевим лабораторним годинником із заздалегідь синхронізованої мережі. Різниця цих показів — лабораторний, або координатний, інтервал. OpenStax: власний час і пара подій.
Це не просто відео годинника, яке запізнюється через відстань. Час поширення сигналів треба врахувати окремо. Коли годинник віддаляється або наближається, частота отриманих спалахів залежить ще й від ефекту Доплера. Після врахування передавання світла релятивістська різниця інтервалів залишається.
Світло йде довшим шляхом, але не швидше
Зробімо уявний годинник із двох дзеркал: світловий імпульс проходить від нижнього до верхнього й повертається до нижнього. Один тік — повний рейс туди й назад, який починається й закінчується біля нижнього дзеркала. Відстань між дзеркалами стала; їхня вісь перпендикулярна до руху корабля.
На кораблі світло йде вертикально. У лабораторній системі дзеркала весь час рухаються вбік: імпульс мусить потрапити в нове місце верхнього дзеркала, а потім у нове місце нижнього. Його шлях складається з двох діагоналей.
В обох інерційних системах швидкість світла у вакуумі дорівнює c. Отже, у лабораторній системі довший світловий шлях потребує довшого інтервалу. Між двома тіками рухомого годинника лабораторія відраховує більше часу. На схемі зістав ту саму пару подій, а не два різні промені. Einstein Online: світловий годинник.
Один повний тік у двох системах
Разом із годинником
Власний інтервал: 8 с
У лабораторній системі
Лабораторний інтервал: 10 с
Рух годинника вправо: v = 0,6c
A — вихід; B — відбиття; C — повернення до нижнього дзеркала.
Мідна лінія — шлях одного імпульсу. Короткі горизонтальні риски — дзеркала; пунктир з’єднує їхні положення в різні моменти.
Світловий годинник робить геометрію видимою, але ефект не є особливою несправністю дзеркал. У своїй системі справні атомні, механічні й світлові годинники мають узгоджуватися. Інакше за їхньою незгодою можна було б визначити привілейований стан рівномірного руху. На борту власна секунда звичайна: і годинник, і всі місцеві процеси порівнюються між собою, а не з невидимим «абсолютним часом».
Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити
Чому 10 секунд перетворюються на 8
Позначмо дзеркальну відстань D, власний інтервал повного тіку Δτ, лабораторний Δt, відносну швидкість v. Тоді D = cΔτ/2. У лабораторній системі для половини рейсу світло проходить гіпотенузу cΔt/2, а дзеркало зміщується на vΔt/2. За теоремою Піфагора:
(cΔt())^(2) = (2D())^(2) + (vΔt())^(2).
Звідси коротко:
Δτ = Δt√(1 − (v)^(2)/(c)^(2)).
За v = 0,6c множник дорівнює √(1 − 0,36) = 0,8. Якщо між цими подіями лабораторія відлічила 10 с, рухомий годинник відлічив 8 с. При v = 0 інтервали однакові. З наближенням v до c множник зменшується; масивний годинник не можна підставляти зі швидкістю c. Відношення швидкостей безрозмірне, результат має одиницю часу.
Формула стосується рівномірного руху одного годинника між заданими подіями в інерційній системі, без гравітаційних поправок. Для змінної швидкості власний час складають із малих ділянок шляху, а не беруть довільну «середню швидкість». OpenStax: геометрія й формула.
Чому кожен може вважати повільнішим іншого
Корабель теж може назвати себе нерухомим і встановити, що лабораторні годинники, які пролітають повз, ідуть повільніше. Це взаємність між інерційними системами, а не суперечливий вирок одному годиннику.
Ключ у слові «одночасно». Дві системи по-різному зіставляють покази віддалених годинників в один момент. Коли ми міняємо місцями лабораторію й корабель у твердженні про сповільнення, міняється й набір віддалених подій, які вважаємо одночасними. Не виходить порівняти одну й ту саму пару годинників при двох зустрічах і отримати взаємно протилежні покази. Einstein Online: взаємність і умови інерційного порівняння.
Для повторної зустрічі в нашому простому сценарії корабель мусить змінити рух. Його шлях у просторі-часі вже інший: відлічений власний час залежить від усього шляху між відльотом і поверненням. Тому після повернення годинники можна покласти поруч і без суперечки прочитати різницю.
Відгалуження · БлизнюкиНеобов’язково · можна пропустити
Поворот не є сховищем усієї різниці віку
У плоскому просторі-часі нехай станція залишається інерційною, а корабель летить від неї зі швидкістю 0,6c і повертається з тією самою за модулем швидкістю. В ідеалізації дуже короткого розвороту станція відлічує 10 років сумарно за два перельоти, корабель — 8. Це нова пара подій: спільні відліт і повернення, а не один тік попередньої схеми.
Прискорення під час розвороту порушує симетрію шляхів, але не пояснює різницю як механічне «гальмування годинника від поштовху». Навіть коли тривалість розвороту роблять малою, різниця за довгі рівномірні ділянки залишається. Для реального плавного розвороту треба додати й власний час цієї ділянки. Einstein Online: роль прискорення та шляхів.
Годинники перевіряють це без міжзоряної подорожі
У 2010 році дослідники NIST порівняли оптичні атомні годинники й змінили рух іона в одному з них. Коливальний рух іона зі швидкостями кілька метрів за секунду дав крихітне зниження частоти, узгоджене з теорією відносності. Це не політ усього годинника на такій швидкості й не уповільнене відео: дослід порівнював частоти точних годинників. NIST: опис досліду.
Наші 60% швидкості світла обрано, щоб різниця була помітна на папері. Вона не вмикається лише після певного порога: за малих швидкостей ефект дуже малий. Якщо корабель у нашій моделі зменшить швидкість до нуля, його власний інтервал збігатиметься з лабораторним. Якщо годинник працює інакше вже поруч із лабораторним, це окрема похибка приладу.
Отже, «час сповільнюється від руху» — скорочення. Потрібно назвати систему відліку, годинник і пару подій. Сталість швидкості світла та геометрія простору-часу пов’язують різні інтервали; місцевий годинник не відчуває власної поломки. Застосування цих відмінностей до тривалого польоту можна простежити в статті про міжзоряні подорожі.