Dos relojes idénticos discrepan aunque ninguno esté averiado. Uno pasa junto a un laboratorio: los relojes sincronizados de este cuentan 10 segundos mientras en el viajero solo transcurren 8. Ocurre al 60% de la velocidad de la luz en nuestro ejemplo hipotético de relatividad especial.
Un reloj en movimiento acumula menos tiempo propio entre dos sucesos de su trayectoria que el intervalo de coordenadas entre esos sucesos en el sistema inercial del laboratorio. Comparamos mediciones concretas; nadie siente que el tiempo se vuelva lento dentro de la cabina. Veamos de dónde sale la diferencia.
Primero acordemos qué relojes comparamos
Imaginemos un laboratorio lejos de cuerpos masivos, donde podamos despreciar la gravedad a la escala necesaria y usar espacio-tiempo plano. Su sistema de referencia inercial no gira ni acelera: los cuerpos libres se mueven de manera uniforme y rectilínea. Una nave pasa a velocidad constante.
Elijamos dos sucesos: el reloj viajero emite una señal y, después, otra. A bordo ambos ocurren junto al mismo reloj. El intervalo que registra es su tiempo propio. En el sistema del laboratorio, la nave se ha desplazado, por lo que los sucesos ocurren en lugares distintos. Cada uno puede fecharse con un reloj local de la red previamente sincronizada del laboratorio. La diferencia es el intervalo del laboratorio, o de coordenadas. OpenStax: tiempo propio y pareja de sucesos.
No es simplemente un vídeo del reloj retrasado por la distancia. El viaje de las señales debe contabilizarse aparte. Si el reloj se acerca o aleja, la frecuencia de los destellos recibidos también depende del efecto Doppler. Tras corregir la propagación de la luz, la diferencia relativista entre intervalos permanece.
La luz recorre más camino sin ir más deprisa
Construyamos un reloj imaginario con dos espejos: un pulso va del inferior al superior y regresa. Un tictac es una ida y vuelta completa, que empieza y termina junto al espejo inferior. La separación es constante y el eje entre espejos es perpendicular al movimiento de la nave.
A bordo, la luz recorre una vertical. En el laboratorio los espejos avanzan lateralmente: el pulso debe alcanzar la nueva posición del espejo superior y después la nueva posición del inferior. Su camino tiene dos tramos diagonales.
En ambos sistemas inerciales la velocidad de la luz en el vacío es c. Por tanto, el camino luminoso más largo en el laboratorio exige un intervalo mayor. Entre dos tictacs del reloj viajero, el laboratorio cuenta más tiempo. Compara la misma pareja de sucesos en la figura, no dos rayos diferentes. Einstein Online: el reloj de luz.
Un tictac completo en dos sistemas
Junto al reloj
Intervalo propio: 8 s
En el sistema del laboratorio
Intervalo del laboratorio: 10 s
El reloj avanza a la derecha: v = 0,6c
A: emisión; B: reflexión; C: regreso al espejo inferior.
Línea de cobre: trayectoria de un pulso. Trazos horizontales: espejos; el punteado une posiciones en distintos momentos.
El reloj de luz hace visible la geometría, pero el efecto no es una avería particular de los espejos. Los buenos relojes atómicos, mecánicos y luminosos deben concordar en su sistema común de reposo. De lo contrario, sus diferencias revelarían un estado privilegiado de movimiento uniforme. A bordo un segundo propio es normal: los relojes y procesos locales se comparan entre sí, no con un «tiempo absoluto» invisible.
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Por qué 10 segundos corresponden a 8
Sean D la separación entre espejos, Δτ el intervalo propio de un tictac completo, Δt el intervalo del laboratorio y v la velocidad relativa. Entonces D = cΔτ/2. Durante medio recorrido en el laboratorio, la luz recorre la hipotenusa cΔt/2 y el espejo avanza vΔt/2. Por Pitágoras:
(cΔt())^(2) = (2D())^(2) + (vΔt())^(2).
Despejando:
Δτ = Δt√(1 − (v)^(2)/(c)^(2)).
Con v = 0,6c, el factor es √(1 − 0,36) = 0,8. Si entre estos sucesos transcurren 10 segundos del laboratorio, el reloj móvil registra 8. Con v = 0 los intervalos coinciden. Al acercarse v a c, el factor disminuye; no se puede asignar la velocidad c a un reloj con masa. El cociente de velocidades no tiene dimensiones y el resultado conserva unidades de tiempo.
La fórmula corresponde a un reloj en movimiento uniforme entre sucesos especificados en un sistema inercial, sin correcciones gravitatorias. Si cambia la velocidad, se suman los tiempos propios de pequeños tramos; no se introduce una «velocidad media» arbitraria. OpenStax: geometría y fórmula.
Cómo puede cada uno considerar más lento al otro
La nave también puede describirse en reposo y determinar que los relojes del laboratorio que pasan junto a ella marchan más despacio. Es reciprocidad entre sistemas inerciales, no sentencias contradictorias sobre un reloj.
La clave es «simultáneo». Los sistemas emparejan de forma distinta las lecturas de relojes distantes en un mismo instante. Al intercambiar laboratorio y nave en la afirmación sobre dilatación temporal, también cambia qué sucesos distantes se consideran simultáneos. No comparamos los mismos relojes en dos encuentros compartidos obteniendo lecturas finales opuestas. Einstein Online: reciprocidad y comparación inercial.
Para reencontrarse en este escenario sencillo, la nave debe cambiar su movimiento. Su trayectoria por el espacio-tiempo es distinta: el tiempo propio acumulado depende de todo el recorrido entre partida y regreso. Al volver pueden colocarse los relojes juntos y leer directamente la diferencia.
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El giro no contiene toda la diferencia de edad
En espacio-tiempo plano, una estación permanece inercial mientras una nave se aleja a 0,6c y regresa con el mismo módulo de velocidad. Idealizando un giro muy breve, la estación cuenta 10 años durante los dos tramos de vuelo libre y la nave 8. Es otra pareja de sucesos: partida y reencuentro compartidos, no un tictac de la figura anterior.
La aceleración del giro rompe la simetría de las trayectorias, pero la diferencia no es un «frenado mecánico del reloj por una sacudida». Aunque se reduzca mucho la duración del giro, permanece la diferencia acumulada durante largos tramos uniformes. Un giro suave real también aporta su propio tiempo. Einstein Online: aceleración y trayectorias.
Se puede comprobar sin viajar a otra estrella
En 2010 investigadores del NIST compararon relojes atómicos ópticos y modificaron el movimiento del ion de uno de ellos. Su movimiento oscilatorio a varios metros por segundo produjo una diminuta reducción de frecuencia compatible con la relatividad. No hicieron volar todo el reloj a esa velocidad ni ralentizaron un vídeo: compararon frecuencias de relojes precisos. NIST: descripción del experimento.
Nuestro 60% de la velocidad de la luz permite ver la diferencia sobre el papel. El efecto no se activa a partir de un umbral: simplemente es muy pequeño a bajas velocidades. Si nuestra nave hipotética reduce su velocidad a cero, su intervalo propio coincide con el del laboratorio. Si un reloj discrepa cuando descansa junto al otro, es un error instrumental distinto.
«El movimiento ralentiza el tiempo» es, por tanto, una abreviatura. Hay que identificar el sistema, el reloj y los dos sucesos. La invariancia de la velocidad de la luz y la geometría del espacio-tiempo relacionan los intervalos; el reloj local no experimenta una avería. Puedes seguir estas distinciones en un viaje largo en el artículo sobre vuelos interestelares.