Los ángulos de un triángulo escolar suman 180°. Ahora imagina un triángulo con tres ángulos rectos. Es posible si sus lados recorren una superficie esférica. La suma es correcta: ha cambiado la geometría en la que aplicamos la regla.
El espacio describe las posibles posiciones de los cuerpos y las relaciones espaciales entre ellos. La curvatura significa que las relaciones entre distancias y ángulos medidos difieren de la geometría euclídea. En relatividad general, la descripción física de la gravedad abarca la geometría conjunta del espacio y el tiempo. Para acercarnos a esta idea, comenzaremos con una superficie fácil de imaginar.
Las coordenadas dan direcciones; la geometría, distancias
Para situar algo en una habitación podemos medir tres números: su distancia a una pared, a otra y al suelo. Así usamos tres dimensiones espaciales. Los números dependen del origen y de las direcciones elegidas. Para saber qué medirán realmente las reglas entre objetos necesitamos también reglas de distancia.
En una hoja cuadriculada resultan familiares. Dos puntos se unen con un segmento recto; en un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras. Redibujar la cuadrícula con líneas onduladas no cambia las longitudes de los segmentos reales. Un mapa extraño, por sí solo, no demuestra curvatura.
En física, la geometría se comprueba mediante mediciones. La idea matemática de espacio también se aplica a una superficie bidimensional, por la que podemos movernos en dos direcciones independientes. La definición de espacio de Einstein Online distingue este sentido amplio del espacio tridimensional habitual.
Cómo construir un triángulo con tres ángulos rectos
Imaginemos un globo perfectamente redondo y sin montañas. Desde el polo norte recorremos un meridiano hasta el ecuador. Seguimos el ecuador durante un cuarto de vuelta: 90° de longitud. Volvemos al polo por otro meridiano.
Ambos meridianos cortan el ecuador en ángulo recto. En el polo, el ángulo entre ellos también es 90°. Por tanto, la suma es 270°. Los ángulos se miden entre direcciones sobre la propia superficie, no entre líneas de una imagen plana.
Los lados son arcos de círculos máximos, intersecciones de la esfera con planos que pasan por su centro. Los arcos cortos entre nuestros vértices son los caminos más cortos sobre la superficie. Son ejemplos de geodésicas, las líneas localmente más rectas posibles de una geometría. Atravesar el interior del globo queda excluido: estudiamos su superficie.
Tres vértices, dos geometrías
En un plano
Los lados son segmentos rectos. Ángulos: A = 45°, B = 45°, C = 90°.
45° + 45° + 90° = 180°
Sobre una superficie esférica
A es el polo norte; B y C están en el ecuador, separados 90° de longitud. Cada uno de los tres ángulos mide 90°.
90° + 90° + 90° = 270°
La diferencia entre 270° y 180° muestra por qué la regla del plano no se traslada directamente a la esfera. En una región pequeña de una esfera grande, la desviación es mucho menor; por eso podemos trazar el plano de un patio pequeño casi como si fuera plano. La definición de curvatura de Einstein Online relaciona esa desviación con la geometría.
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¿Por qué una hoja enrollada es un caso especial?
Enrolla una hoja formando un tubo cilíndrico abierto, sin estirarla ni arrugarla. Desde fuera parece curvada. Sin embargo, un pequeño triángulo dibujado, medido sobre el papel, conserva sus longitudes y ángulos. Podemos desenrollar la hoja sin estirarla.
Su geometría intrínseca es localmente plana: su curvatura gaussiana es cero. La esfera tiene otra geometría intrínseca; ningún mapa plano puede cubrirla sin distorsiones en todas partes. Los ejemplos 2.13–2.14 del material de Cornell sobre superficies comparan plano, esfera y cilindro.
«Localmente» importa: el tubo también se cierra en una dirección, por lo que sus propiedades globales difieren de las de una hoja infinita. El ejemplo separa la curvatura intrínseca del aspecto exterior de un objeto.
La curvatura puede detectarse desde dentro
Una habitante imaginaria de la superficie esférica podría medir lados y ángulos de triángulos sin ver el globo desde fuera. Le bastaría comparar los resultados con las reglas del plano. Por tanto, «curvado» no exige «doblado dentro de algún espacio exterior».
Usamos una tercera dimensión para dibujar la esfera, pero matemáticamente podemos describir su geometría intrínseca sin ella. El texto del AEI sobre geometría y precesión geodésica explica esta distinción. Del mismo modo, definir la curvatura del espacio tridimensional no exige suponer una habitación exterior con otra dimensión espacial.
El límite de la analogía es esencial: la superficie del globo tiene dos dimensiones; nuestro espacio habitual, tres. La figura no afirma que todo el Universo sea la superficie de una esfera. Ilustra una forma de pensar: la geometría se define mediante relaciones comprobables desde dentro.
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¿Qué hemos calculado para la esfera?
Llamemos exceso esférico a la diferencia entre la suma de los tres ángulos y 180°. Para nuestro triángulo:
E = (270)^(∘) − (180)^(∘); = (90)^(∘).
En radianes, E = π/2. Ocho triángulos idénticos cubren la esfera. Si su radio es R, el área de uno es:
A = (4π(R)^(2))/(8) = (π(R)^(2))/(2).
Entonces E/A = 1/(R)^(2), la curvatura gaussiana de una esfera ideal. Su unidad es el inverso de una longitud al cuadrado, por ejemplo m⁻². Duplicar R la reduce a la cuarta parte. Este triángulo grande conserva sus ángulos mientras su área se cuadruplica.
Calculamos una propiedad de una esfera matemática determinada. No es una medición de la curvatura del Universo ni una regla universal de dividir un ángulo entre un área para cualquier geometría del espacio-tiempo.
La geometría de la gravedad también incluye el tiempo
Volvamos a la física. Para describir una caída o un vuelo hay que decir dónde está el cuerpo y cuándo. En relatividad general, estos sucesos forman el espacio-tiempo. Su geometría establece cómo se relacionan distancias, intervalos temporales y trayectorias de la luz.
Masa, energía, cantidad de movimiento y presión están ligadas a esa geometría. Un cuerpo pequeño y libre, sin empuje, rozamiento ni otras fuerzas no gravitatorias, sigue una geodésica del espacio-tiempo. Es una idea más precisa que una pelota arrastrada por la gravedad terrestre hacia un embudo de goma. El espacio no es una sustancia de goma; describir la gravedad no requiere introducir otro «abajo» exterior. La explicación elemental del AEI sobre la geometría gravitatoria relaciona el movimiento con el espacio-tiempo.
Una manifestación física de la curvatura son los efectos de marea: cuerpos cercanos en caída libre pueden acercarse o separarse entre sí. Un pequeño ascensor en caída libre elimina la sensación de peso, pero no esas diferencias en toda una región extensa. Lo desarrolla la explicación del AEI sobre ingravidez y curvatura.
Curvatura espacial y curvatura del espacio-tiempo son conceptos distintos. Una imagen de un «hoyo espacial» no explica todos los efectos gravitatorios. El vacío tampoco garantiza planitud: el espacio-tiempo exterior a una estrella idealizada, esférica y sin rotación puede estar curvado aunque no haya materia en el lugar elegido. Un ejemplo técnico es la solución exterior de Schwarzschild en las lecciones de David Tong, §6.1.
La descripción geométrica se contrasta con observaciones
La luz también viaja según la geometría del espacio-tiempo. Cerca de un cuerpo masivo, su trayectoria puede desviarse de modo que una galaxia distante aparezca como un arco, varias imágenes o un anillo. Es una lente gravitatoria. El 10 de febrero de 2025, la ESA publicó observaciones de Euclid de un anillo alrededor de NGC 6505. La luz del anillo procedía de una galaxia más lejana; la gravedad de la galaxia cercana alteró su camino hasta el telescopio.
Es un efecto comprobable de la gravedad sobre la luz. El anillo por sí solo no determina la geometría de todo el Universo ni demuestra que el espacio sea literalmente la esfera de nuestra figura.
La pregunta inicial ya tiene una respuesta concreta: la geometría puede diferir de la plana, y podemos detectarlo mediante mediciones hechas desde dentro. La gravedad necesita una descripción conjunta del espacio y el tiempo. Compara ahora dos explicaciones de la caída libre de la Luna alrededor de la Tierra: mediante una fuerza en el modelo newtoniano y mediante movimiento geodésico en el relativista. Son modelos distintos del mismo movimiento físico.