Imaginemos un contador que recibe una señal cada segundo. Empieza en cero y nunca se detiene. Acumulará un millón de señales en menos de dos semanas, mil millones en unos 32 años y un billón en unos 32 mil años. ¿Por qué estas cantidades, que parecen próximas al nombrarlas, tienen escalas tan distintas?
Un millón es 1 000 000; mil millones son 1 000 000 000; un billón es 1 000 000 000 000. Cada cantidad de esta secuencia es mil veces la anterior. Pasar de un millón a un billón requiere multiplicar dos veces por mil: un aumento de un millón de veces. Veamos cómo se reconoce en las cifras y comprobémoslo con una unidad de tiempo conocida.
Mil grupos de mil forman un grupo nuevo
Si una caja contuviera mil fichas, mil cajas iguales contendrían un millón. Para alcanzar mil millones, necesitaríamos mil conjuntos de un millón. Para un billón, mil conjuntos de mil millones. En cada paso conservamos el tamaño del conjunto anterior y tomamos mil copias.
En la escritura decimal, la posición de una cifra determina su valor. En 111, el primer 1 representa una centena; el segundo, una decena; y el tercero, una unidad. Avanzar una posición hacia la izquierda multiplica por diez el valor de la posición. Tres posiciones equivalen a 10 × 10 × 10: mil veces más.
Por eso conviene separar los números enteros grandes en grupos de tres cifras, empezando por la derecha. 2 345 678 representa dos millones, 345 mil y 678 unidades. Los espacios ayudan a leer las posiciones; no indican que debamos multiplicar los grupos. Incluso un grupo vacío necesita ceros para conservar las posiciones: 2 000 007 tiene dos millones y siete unidades, sin millares.
Añadir tres ceros a la derecha de un entero positivo lo multiplica por mil. 1 000 000 se convierte en 1 000 000 000. Sumar mil es otra operación: un millón más mil solo da 1 001 000.
Usemos el segundo como referencia
Las cajas explican la agrupación, pero miles de cajas también son difíciles de imaginar. Volvamos a un único contador con un ritmo constante: una señal por segundo, sin pausas. Parte de cero y recibe la primera señal al cabo de un segundo. Un millón de señales requiere entonces exactamente un millón de segundos.
Tomamos el día como una unidad de 86 400 segundos. Para expresar intervalos largos en años usaremos el año juliano: exactamente 365,25 días, o 31 557 600 segundos. Este intervalo definido se utiliza en cálculos astronómicos; no significa que todos los años del calendario duren lo mismo. JPL: el día y el año juliano.
En estas condiciones, un millón de señales requiere unos 11,57 días; mil millones, 31,69 años; y un billón, 31 688 años. Cambiar a unidades más cómodas conserva la proporción: mil millones de segundos siguen durando mil veces más que un millón de segundos.
Es un instrumento imaginario, no una promesa de que alguien pueda contar en voz alta hasta mil millones en 32 años. Los nombres largos de los números requieren tiempos distintos y una persona necesita dormir y descansar. La aritmética exacta corresponde al ritmo de señales indicado. La comparación cotidiana ayuda a imaginar la escala bajo esa condición.
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Cómo obtener el tiempo en días y años
Dividimos el tiempo en segundos entre los segundos que contiene la unidad elegida:
\begin{gathered} \frac{1\,000\,000\ \text{s}}{86\,400\ \text{s/día}}\\ \approx11{,}57\ \text{días}, \end{gathered}
\begin{gathered} \frac{1\,000\,000\,000\ \text{s}}{31\,557\,600\ \text{s/año}}\\ \approx31{,}69\ \text{años}. \end{gathered}
Para un billón, la misma regla da 31 688,0878… años. Dividimos antes de redondear, por lo que la tabla muestra 31 688 años. Si primero redondeáramos mil millones de segundos a 31,69 años y después multiplicáramos por mil, obtendríamos 31 690: el error del redondeo previo también se multiplica por mil. Todos estos años son julianos de 365,25 días; no calculamos una fecha de finalización en el calendario.
Por qué un gráfico correcto puede ocultar un millón
Antes de cambiar la representación, intenta predecirlo: si una barra completa representa un billón, ¿qué fracción ocuparán mil millones? ¿Y un millón?
En una escala lineal, las longitudes guardan las mismas proporciones que los números. Mil millones ocuparán una milésima parte de la barra completa; un millón, una millonésima. Si la barra completa midiera un metro, estas longitudes serían un milímetro y una milésima de milímetro. En una pantalla quizá no se distinga la barra menor.
La representación agrupada sirve para otra cosa: muestra multiplicaciones sucesivas por mil. Pasos iguales representan factores iguales, no cantidades sumadas iguales. Cambia de escala y compara las barras visibles con los números de la tabla.
| Número de señales | Tiempo ≈ | Fracción de un billón |
|---|---|---|
Millón1 000 000 | 11,57 días | 1/1 000 000 |
Mil millones1 000 000 000 | 31,69 años | 1/1000 |
Billón1 000 000 000 000 | 31688 años | 1 |
Desde 0, primera señal al cabo de 1 s, sin pausas. Un día = 86 400 s; aquí un año es un año juliano de 365,25 días. Es un cálculo, no una medición de la velocidad humana al contar.
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Qué significa la representación logarítmica
Entre un millón y mil millones hay una diferencia de 999 millones. Entre mil millones y un billón, de 999 mil millones. La razón es mil en ambos casos, aunque las diferencias son muy distintas.
Una escala logarítmica asigna distancias iguales a factores de multiplicación iguales. Nuestra escalera utiliza pasos de multiplicación por mil: millón, mil millones, billón. Permite ver los tres niveles sin una barra un millón de veces más larga que otra. Sin embargo, esas distancias ya no permiten estimar diferencias. El cero no aparece en esta escala: multiplicar un número positivo por mil nunca lo convierte en cero.
La escala no cambia los números. Cambia la relación que resulta cómoda de ver: diferencias en una escala lineal o factores en una logarítmica. La etiqueta de la escala forma parte del significado del gráfico.
Una potencia de diez abrevia una larga fila de ceros
Para no escribir largas filas de ceros utilizamos potencias de diez. (10)^(3) significa 10 × 10 × 10 = 1000. El exponente sobre el 10 indica cuántos dieces se multiplican. Para un exponente entero positivo también indica cuántos ceros siguen al 1: (10)^(6) es un millón; (10)^(9), mil millones; y (10)^(12), un billón.
En la notación científica de un número positivo, la potencia lleva delante un número desde 1 hasta 10, sin incluir 10. Por ejemplo, 2,5 × (10)^(9) significa 2,5 × 1 000 000 000: 2 500 000 000, o dos mil quinientos millones. La potencia establece la escala y el número anterior indica cuántas unidades de esa escala tomamos. No hace falta aprender primero a resolver ecuaciones para entenderlo.
Los mismos factores decimales aparecen en los prefijos de las unidades SI: mega- (M) significa (10)^(6); giga- (G), (10)^(9); y tera- (T), (10)^(12). Un megasegundo, 1 Ms, es un millón de segundos; 1 Gs son mil millones de segundos; 1 Ts es un billón de segundos. Un prefijo sin unidad todavía no dice qué se ha medido. Un millón de segundos y un millón de metros tienen el mismo número, pero significados físicos distintos. BIPM: prefijos del SI.
Estos prefijos corresponden a potencias de diez. No deben redefinirse mediante multiplicaciones por 1024; los factores binarios tienen prefijos propios. NIST: reglas de los prefijos decimales.
Palabras parecidas en otras lenguas pueden significar números distintos
En el inglés actual, billion significa 1 000 000 000, es decir, mil millones; trillion significa 1 000 000 000 000, nuestro billón. Estos significados ingleses aparecen también en la tabla de prefijos del NIST estadounidense. NIST: nombres de números y prefijos.
En el uso estándar del español, billón significa un millón de millones: (10)^(12). Para el inglés billion, la RAE recomienda mil millones o millardo. También hay variantes regionales de uso, de modo que conviene comprobar las cifras al traducir. Copiar una palabra parecida sin verificarla puede cambiar el número por un factor de mil. RAE: billón y billion.
Una forma fiable de leer números grandes en otra lengua es buscar la escritura completa o la potencia de diez, comprobar la unidad y elegir después el nombre. Las cantidades (10)^(9) segundos y (10)^(12) segundos no tienen esa ambigüedad lingüística en su número, aunque al lado haya una palabra desconocida.
¿Cuántos millones caben en un billón?
Intenta responder sin contar los ceros uno a uno: ¿un billón contiene mil millones o un millón de millones?
Mil millones contienen mil grupos de un millón. Un billón contiene mil de esos conjuntos, así que 1000 × 1000 = un millón de millones. Por eso, al mismo ritmo, nuestro contador necesita un millón de veces más tiempo para llegar al billón que al millón.
Para comprender mejor un número grande, sepáralo en grupos de miles, determina el factor y nombra la unidad. Si lo comparas en un gráfico, comprueba también la escala. Así se pueden interpretar las cantidades de una descripción del Sistema Solar, sin reducir todas las distancias lejanas a la palabra «enormes». A continuación exploraremos las unidades que facilitan medir esas distancias.