¿Qué significa elevar un número al cuadrado y por qué aparece en física?

Imagina un panel cuadrado formado por una sola baldosa. Hagámoslo el doble de ancho y el doble de alto. ¿Cuántas baldosas harán falta: dos o cuatro? Este pequeño recuento explica tanto la expresión «elevar un número al cuadrado» como el hecho de que una fuente lejana pueda aportar mucha menos luz a la misma superficie receptora.

El cuadrado de un número es ese número multiplicado por sí mismo: $a^2=a\times a$ . Cuando ambas longitudes de una superficie se duplican, su área se hace cuatro veces mayor. Si la misma potencia luminosa se reparte por esa área mayor, cada unidad de área recibe la cuarta parte. Para la luz, este último paso necesita una geometría concreta y ciertas condiciones de la fuente. Veamos cómo se relacionan.

Dos longitudes aportan dos factores

Un panel de dos baldosas de ancho y dos de alto tiene dos filas de dos baldosas: cuatro en total. Un panel con tres baldosas en cada dirección contiene nueve. Multiplicamos el número de baldosas de una fila por el número de filas. Por eso, el área de un cuadrado de lado $a$ es $a^2$ .

Conviene distinguir multiplicar por dos de elevar al cuadrado. Para el número 3, la primera operación da 6 y la segunda da 9. El pequeño dos elevado indica dos factores iguales; no significa sumar dos ni duplicar. Los factores también pueden ser fracciones: el cuadrado de un medio es un cuarto.

Si el lado mide 3 metros, el área es de 9 metros cuadrados, o 9 m². Son nueve cuadrados de 1 m por 1 m. El metro mide longitud; el metro cuadrado mide área. El símbolo m² no significa «dos metros».

La imagen geométrica utiliza longitudes positivas. Como operación aritmética, elevar al cuadrado también está definido para el cero y los números negativos: por ejemplo, $(-3)^2=9$ . Eso no convierte el lado del panel en una longitud negativa.

La luz atraviesa una superficie cada vez mayor

Imaginemos ahora una fuente pequeña en el espacio vacío. Funciona de manera constante y emite por igual en todas las direcciones: se dice que la emisión es isótropa. La tratamos como una fuente puntual: su tamaño es despreciable frente a la distancia al receptor. No hay materia que absorba o disperse la luz, ni obstáculos.

Tracemos una superficie esférica imaginaria alrededor de la fuente. Todo rayo que sale hacia el exterior la atraviesa. Cada segundo, la energía que cruza la superficie completa es igual a la energía que emite la fuente en un segundo. Una esfera mayor no elimina parte de esa potencia: simplemente ofrece un área mayor por la que pasa la luz.

Cuando el radio se duplica, la superficie se extiende en dos direcciones y su área se hace cuatro veces mayor. Con un radio triple, el área aumenta nueve veces. La forma es redonda, pero el cuadrado aparece por la misma razón que con las baldosas: el área tiene dos dimensiones. University of Reading: deducción mediante la geometría esférica y la conservación de la energía.

En el esquema, compara primero las cantidades de baldosas y después las áreas de las esferas imaginarias. La distancia $r$ se mide siempre desde el centro de la fuente.

Un factor de distancia produce dos factores de área

1 · Primero cuenta las baldosas iguales

Lado: 1 unidades

Área: 1 unidades cuadradas

Lado: 2 unidades

Área: 4 unidades cuadradas

Lado: 3 unidades

Área: 9 unidades cuadradas

2 · La misma geometría se aplica a una superficie esférica

Distancia al centro: r
Área de la esfera: A₀
Flujo por unidad de área: F₀

Distancia al centro: 2r
Área de la esfera: 4A₀
Flujo por unidad de área: F₀ / 4

Distancia al centro: 3r
Área de la esfera: 9A₀
Flujo por unidad de área: F₀ / 9

Una fuente puntual constante emite por igual en todas las direcciones, sin absorción ni obstáculos. A₀ y F₀ son el área de la esfera y el flujo recibido a r.

Dentro de cada comparación, lados y radios usan la misma escala lineal. Los círculos y elipses representan superficies esféricas de forma esquemática; su área no es la del disco dibujado. La fuente está ampliada. Los números describen un modelo geométrico, no mediciones.

Un receptor pequeño recoge solo una parte de la luz. Orientémoslo hacia la fuente, perpendicular a los rayos, y mantengamos su área. A una distancia $2r$ , cada metro cuadrado de la esfera imaginaria recibe la cuarta parte de lo que recibe a $r$ . El mismo receptor recogerá, por tanto, la cuarta parte de la potencia. A $3r$ , recogerá la novena parte.

Esta es la ley del inverso del cuadrado para nuestro modelo de propagación: al multiplicar la distancia por un factor, la potencia recibida por unidad de área se divide por el cuadrado de ese factor. El triple de distancia da una novena parte del flujo; la mitad de distancia da cuatro veces el flujo. Mientras tanto, la fuente sigue emitiendo la misma potencia.

Hablamos del flujo de energía recibido por unidad de área, no de la sensación subjetiva de brillo. La dispersión geométrica tampoco significa que cada fotón vaya perdiendo energía en este modelo. La misma superficie receptora intercepta una fracción menor de la potencia total a mayor distancia.

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Del área de la esfera a los vatios por metro cuadrado

El área de una superficie esférica de radio $r$ es:

A=4\pi r^2.

Aquí $\pi\approx3{,}14$ . Llamemos $L$ a la potencia total emitida por la fuente, en vatios, y $F$ al flujo recibido por unidad de área, en W/m². Bajo las condiciones anteriores:

F=\frac{L}{4\pi r^2}.

Tomemos una fuente imaginaria con $L=100$ W y $r=2$ m. Son 100 W de potencia radiada, no la potencia eléctrica indicada en el envase de una bombilla. El cálculo puede hacerse en pasos breves:

\begin{aligned} A&=4\pi(2\,\mathrm{m})^2\\ &\approx50{,}27\,\mathrm{m^2},\\ F&=\frac{100\,\mathrm{W}}{50{,}27\,\mathrm{m^2}}\\ &\approx1{,}99\,\mathrm{W/m^2}. \end{aligned}

A 1 m obtenemos unos 7,96 W/m², y a 3 m, unos 0,884 W/m². Las unidades sugieren el significado: dividimos vatios entre metros cuadrados. Si multiplicamos $F$ por el área de toda la esfera correspondiente, recuperamos los 100 W. La potencia total se ha conservado.

¿Por qué no el cubo de la distancia? El volumen de una esfera sí depende del cubo del radio, pero aquí contamos la energía que atraviesa una superficie cada segundo, no la que ocupa todo el volumen. Por eso aparece un área en el denominador.

Una estrella tenue puede ser potente

La potencia propia de una estrella, emitida en todas las longitudes de onda, se llama luminosidad. El flujo que nos llega depende de esa luminosidad, de la distancia y de las pérdidas durante el trayecto. Por tanto, una señal débil no demuestra por sí sola que la estrella esté lejos: podría estar cerca y emitir poca potencia. OpenStax: luminosidad y brillo aparente de las estrellas.

La comparación «el doble de distancia da un cuarto del flujo» corresponde a la misma fuente sin cambios, o a fuentes de igual luminosidad con las demás condiciones iguales. No sirve para dos estrellas cualesquiera sin información adicional.

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Cómo dos fuentes distintas producen la misma señal

Imagina dos fuentes isótropas sin absorción en el trayecto. La segunda está al doble de distancia, pero su luminosidad es cuatro veces mayor. La mayor distancia divide el flujo recibido entre 4, mientras que la mayor luminosidad lo multiplica por 4. Ambos efectos se compensan: receptores iguales recogen la misma potencia.

Por eso los astrónomos buscan una forma independiente de estimar la distancia o la luminosidad propia. La ley de propagación las relaciona, pero una sola medida del flujo no determina ambas. Si comparamos únicamente un color o una banda de radiación, las potencias de las fuentes también deben corresponder a esa misma banda.

Comprueba primero la fuente y la geometría

Una estrella lejana suele aproximarse al modelo de fuente pequeña e isótropa. Cerca de un panel luminoso grande, en cambio, sus distintas partes se encuentran a distancias y direcciones diferentes del receptor. Sustituirlas por un solo punto puede dejar de funcionar. Tampoco debemos aplicar sin comprobarlo nuestra regla a un receptor cercano a la superficie visible de una estrella. NBS/NIST: límites para fuentes extensas, pp. 30–31.

Un haz láser no reparte su potencia total uniformemente por una esfera completa. Hay que conocer cómo cambia la sección transversal del haz; $L/(4\pi r^2)$ no describe cualquier distancia desde su abertura de salida. El polvo, la niebla, las sombras o los cambios en la propia fuente también alteran la señal recibida. Aquí, la ley del inverso del cuadrado describe la propagación geométrica bajo las condiciones indicadas.

Comprueba el razonamiento: un receptor se desplaza de $2r$ a $3r$ . ¿Qué fracción del flujo anterior conserva? No es un noveno: el flujo anterior ya era un cuarto del flujo a $r$ . La nueva distancia es una vez y media la anterior, por lo que el área aumenta en un factor de 2,25. Obtenemos $4/9$ del flujo anterior, aproximadamente un 44%.

El cuadrado aparece aquí porque el área cambia en dos direcciones. El inverso del cuadrado añade otro paso: la potencia conservada se divide entre esa área. Al mirar el cielo nocturno, ya puedes distinguir «nos llega poca luz» de «esta estrella emite poca luz». El siguiente paso matemático del curso son los ángulos y la altura de una estrella sobre el horizonte.