Para una exposición de sobremesa se han construido pequeños modelos de la Tierra y la Luna. Después alguien decide que la Tierra se ve poco y duplica su diámetro, dejando la Luna igual. Cada esfera sigue pareciéndose a un cuerpo celeste, pero ¿el par conserva la relación correcta de tamaños?
No: ahora la Luna es la mitad de grande en relación con la Tierra. Para ampliar todo el modelo y conservar esa relación hay que multiplicar ambos diámetros por el mismo número. Una proporción es una igualdad entre dos razones. Permite indicar exactamente qué debe permanecer constante cuando cambian los tamaños. OpenStax: definición de proporción.
Comparamos dos longitudes definidas, no solo dos números
Usaremos los diámetros: longitudes que atraviesan el centro de una esfera de un extremo al opuesto. La Tierra y la Luna no son esferas perfectas, así que para este problema utilizaremos esferas con sus radios medios volumétricos. Son los radios de esferas que tienen el mismo volumen que los cuerpos correspondientes. La tabla de la NASA da 6.371,0 km para la Tierra y 1.737,4 km para la Luna. Al duplicar los radios obtenemos diámetros de 12.742 km y 3.474,8 km. NASA: comparación entre la Luna y la Tierra.
¿Qué fracción del diámetro terrestre representa el lunar? Dividamos el diámetro de la Luna entre el de la Tierra. Resulta aproximadamente 0,273, es decir, 27,3%. En esta comparación la Luna mide algo más de un cuarto del ancho de la Tierra. Es una razón entre diámetros; no significa que la Luna tenga el 27,3% de la masa o del volumen terrestres.
El orden importa. «Luna / Tierra» da un número menor que uno. Al invertir el orden, «Tierra / Luna» da unos 3,67: el diámetro terrestre es aproximadamente 3,67 veces el lunar.
Para esta razón debemos expresar ambas longitudes en las mismas unidades. Podemos dividir kilómetros entre kilómetros o centímetros entre centímetros. Expresar la misma longitud en metros multiplica su valor numérico por mil, pero el cuerpo no crece. Comparar números sueltos sin hacer coincidir las unidades perdería ese significado. OpenStax: razones y unidades.
Un factor común cambia los tamaños y conserva la razón
En el primer modelo, hagamos que un centímetro represente 2.000 kilómetros. El diámetro terrestre será aproximadamente 6,37 cm y el lunar, 1,74 cm. Hemos reducido cada longitud real con la misma regla.
Dupliquemos ambos diámetros. Ahora medirán aproximadamente 12,74 cm y 3,47 cm, y un centímetro del modelo representará 1.000 km. Hemos elegido otra escala para todo el par. Luna / Tierra sigue siendo aproximadamente 0,273 porque numerador y denominador han cambiado por el mismo factor.
Compara el segundo y el tercer par del esquema. En el tercero, la Tierra es tan grande como en el segundo, pero la Luna sigue siendo la del primero. Este par ya no tiene una escala común.
Dos escalas y un error
Compara los diámetros. En el segundo par se duplican ambos discos; en el tercero, solo la Tierra.
Modelo inicial
1 cm del modelo ↔ 2.000 km
- Diámetro terrestre
- 6,37 cm
- Diámetro lunar
- 1,74 cm
- Luna / Tierra
- ≈ 0,273
Razón inicial
Ambos diámetros ×2
1 cm del modelo ↔ 1.000 km
- Diámetro terrestre
- 12,74 cm
- Diámetro lunar
- 3,47 cm
- Luna / Tierra
- ≈ 0,273
Se conserva la razón
Solo el diámetro terrestre ×2
Sin escala común
- Diámetro terrestre
- 12,74 cm
- Diámetro lunar
- 1,74 cm
- Luna / Tierra
- ≈ 0,136
La razón se reduce a la mitad
Las etiquetas se redondean para facilitar la lectura; las razones se calculan con los números originales. Dividir solo los valores redondeados 1,74 entre 6,37 produce últimas cifras algo distintas. Es un efecto del redondeo, no un cambio del modelo.
Aquí comparamos únicamente diámetros. El espacio entre los discos no representa la distancia a la Luna. Un modelo espacial también tendría que reducir la distancia entre centros con la misma regla; acercar las esferas arbitrariamente no conserva la escala de todo el sistema.
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Por qué el factor desaparece de la razón
Sean a el diámetro del modelo lunar, b el del terrestre y q > 0 el factor común de ampliación. Para diámetros positivos:
(qa)/(qb) = (a)/(b).
El factor q se cancela. Esta igualdad es una proporción: la razón después de ampliar es igual a la anterior. Sumar la misma longitud funciona de otro modo: 2/6 = 1/3, pero sumar 2 a ambos números da 4/8 = 1/2.
Calculemos el diámetro lunar d cuando el modelo terrestre mide 10 cm de diámetro. Luna / Tierra debe coincidir con la razón entre las esferas elegidas:
(d)/(10 cm) = (3 474,8)/(12 742),; d = 10 cm × (3 474,8)/(12 742),; d ≈ 2,73 cm.
El numerador y el denominador de la fracción de la derecha son diámetros en kilómetros; los kilómetros se cancelan. El resultado d tiene unidades de centímetros, como el diámetro terrestre dado. Primero conservamos la razón y después obtuvimos de ella la longitud buscada.
La proporcionalidad directa exige una condición constante
Dentro de una escala, a una longitud real mayor siempre le corresponde una longitud mayor del modelo mediante el mismo factor. El doble de longitud produce el doble; el triple produce el triple. Esta relación se llama proporcionalidad directa.
Se escribe y = kx, donde x es la longitud real, y la del modelo y k un coeficiente constante. Para el primer modelo, con x en kilómetros e y en centímetros, k vale 0,0005 cm/km. Multiplicar cada longitud en kilómetros por este coeficiente da centímetros. En el segundo modelo se elige otro k, que vuelve a ser común a ambos cuerpos. OpenStax: proporcionalidad directa.
Decir «ambas cantidades aumentan» no demuestra proporcionalidad directa. Si sumamos dos centímetros a cada diámetro, ambos modelos crecen, pero la pequeña Luna cambia más en términos relativos. La proporcionalidad directa mantiene constante la razón, no la diferencia.
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Aumentar una cantidad y llegar a un valor no son la misma instrucción
Supongamos que el diámetro inicial de una esfera es 6 cm. Aumentarlo en 2 cm significa sumar dos y obtener 8 cm. Aumentarlo hasta 8 cm indica directamente la longitud final. Duplicarlo significa multiplicar por dos y obtener 12 cm.
Los porcentajes también necesitan una cantidad inicial. Aumentar 6 cm en un 50% del valor inicial significa sumar 3 cm y obtener 9 cm. Aumentarlo hasta el 150% del valor inicial da los mismos 9 cm. Pero llegar al 50% del valor inicial significa 3 cm: una reducción.
Por eso conviene leer con cuidado una expresión como «aumentó un 200%». Añadir el 200% del valor inicial produce el 300% del inicial, es decir, lo triplica. Llegar al 200% significa duplicarlo. Un modelo necesita una operación inequívoca además de un número.
El diámetro se duplica; el área y el volumen cambian de otra manera
Al decir «ampliamos el modelo por un factor de dos», debemos precisar que hablamos de cada longitud correspondiente. En cuerpos semejantes todas las longitudes cambian por el mismo factor: diámetro, radio y circunferencia. Pero el área implica dos dimensiones de longitud, y el volumen, tres.
Se ve fácilmente con un cuadrado y un cubo. Un cuadrado de 1 cm de lado ocupa 1 cm². Uno de 2 cm de lado contiene dos filas de dos cuadrados pequeños: 4 cm² en total. Un cubo de 2 cm de lado contiene dos capas de cuatro cubos unitarios: 8 cm³ en total. OpenStax: áreas, volúmenes y cálculos geométricos.
El mismo principio se aplica a las esferas: al duplicar el diámetro, el área de toda la superficie se multiplica por cuatro y el volumen, por ocho. Es un resultado geométrico sobre formas semejantes. No significa que podamos estirar un planeta real manteniendo su densidad, estructura interna y otras propiedades físicas.
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De dónde salen los factores cuatro y ocho
Para una esfera de radio r, el área de toda la superficie es S = 4π(r)^(2), y el volumen, V = (4)/(3)π(r)^(3). Escribamos el nuevo radio como (r)^(′) = qr, con q > 0. Entonces:
(S)^(′) = 4π(qr())^(2),; = (q)^(2)S,; (V)^(′) = (4)/(3)π(qr())^(3),; = (q)^(3)V.
Para q = 2 obtenemos (q)^(2) = 4 y (q)^(3) = 8. Con q = 1/2, las longitudes se reducen a la mitad, el área a un cuarto y el volumen a un octavo del inicial. Aquí la prima indica la nueva cantidad. Ambas esferas tienen la misma forma y todas sus longitudes han cambiado uniformemente.
Comprobemos qué ha cambiado y qué se conserva
En un par correcto de Tierra y Luna, dividimos ambos diámetros entre tres. ¿La razón Luna / Tierra se hace tres veces menor? No: sigue siendo aproximadamente 0,273. Cambian ambas longitudes y la escala común, pero el factor común se cancela en la razón.
¿Y si duplicamos solo el diámetro lunar y dejamos igual la Tierra? La razón se duplica, hasta aproximadamente 0,545. El par deja de conservar la razón real entre los diámetros elegidos. Para comprobarlo basta con identificar numerador, denominador y qué cantidad ha cambiado.
Para tu propio dibujo, utiliza un disco terrestre de 10 cm de diámetro y uno lunar de aproximadamente 2,73 cm. Imagina después una copia con ambas longitudes reducidas a la mitad. Usando la razón original sin redondear, los diámetros correctos son 5 cm y aproximadamente 1,36 cm, en lugar de 5 cm y unos 2,73 cm sin cambiar. Dividir por dos los 2,73 cm ya redondeados podría cambiar la última cifra del resultado. Puedes elegir una separación cómoda entre los discos, pero ese dibujo comparará únicamente los tamaños de los cuerpos, sin representar su separación a escala.
Una proporción ayuda a conservar una razón determinada. Antes de calcular, nombra las cantidades, haz coincidir las unidades y decide qué permanece constante. Ampliar un modelo será entonces una transformación comprensible, en vez de un cambio arbitrario de números. A continuación, el curso explorará por qué los cuadrados de los números aparecen tan a menudo en física.