Dibujemos un Sol de 10 cm de diámetro y añadamos la Tierra. ¿Cuánto espacio debemos dejar entre ambos: un palmo, una página o una habitación entera? Si tamaños y distancias se reducen de verdad por el mismo factor, la Tierra tendrá un diámetro de solo 0,916 mm, y su referencia orbital quedará a unos 10,75 m del centro del Sol. Para Neptuno harán falta alrededor de 323 m.
Una sola escala significa un mismo factor para todas las longitudes: diámetros de los cuerpos, distancias entre centros y tamaños de las órbitas. Si agrandamos únicamente los círculos de los planetas para verlos, obtenemos un esquema útil, pero deja de compartir una escala para tamaños y distancias. NASA/JPL: construir un modelo con una escala común.
Primero elegimos una sola regla
Empecemos con nuestro Sol de 10 cm. Para el cálculo usaremos un diámetro solar de 1 391 400 km: el doble del radio solar nominal de la IAU. Aquí «nominal» significa un patrón exacto de conversión acordado, cercano al tamaño físico del Sol; no significa que las observaciones hayan determinado su diámetro sin incertidumbre. Prša y colaboradores: explicación de la resolución IAU 2015 B3.
Hay que reducir el Sol real unas 13 900 millones de veces. Ahora dividimos todas las demás longitudes por ese mismo número. El diámetro terrestre se convierte en un punto de menos de un milímetro, mientras que la enorme separación Tierra–Sol queda en algo más de diez metros. La relación entre distancia y diámetro terrestre se conserva: unos 11 740 diámetros terrestres para la referencia de 1 au.
La unidad astronómica, au, equivale exactamente a 149 597 870 700 m, o 149 597 870,7 km. Es cercana a la escala característica de la órbita terrestre. Es una unidad de longitud, no una promesa de que la Tierra siempre mantiene la misma distancia al Sol. JPL: definición de au.
La tabla siguiente usa el mismo tipo de tamaño para cada planeta: el diámetro de una esfera con su mismo volumen. Lo obtenemos duplicando el radio medio volumétrico de la tabla de JPL. Así comparamos de forma coherente la Tierra, casi esférica, y los gigantes, visiblemente achatados. Los anillos de Saturno no forman parte de su diámetro. JPL: tamaños planetarios y definiciones de las columnas.
Un Sol pequeño necesita un camino largo
Ya podemos planear un paseo. Coloquemos el Sol del modelo al inicio de una línea recta de medición. Desde ese origen marcaremos las escalas orbitales: unos 4,16 m para Mercurio, 10,75 m para la Tierra y 55,94 m para Júpiter. Neptuno quedará a 323,30 m, aunque su pequeña esfera solo mida 3,54 mm de diámetro.
Las distancias se miden desde el centro del Sol, sin volver a empezar en cada planeta anterior. Como referencia orbital tomamos el semieje mayor redondeado: la mitad del eje más largo de la elipse orbital. Describe el tamaño de la órbita, no la distancia actual al planeta. Es una regla para comparar tamaños orbitales, no una fotografía del Sistema Solar: los planetas no están alineados en ese camino en un mismo instante. JPL: elementos orbitales.
Un Sol de 10 cm: un modelo para todas las longitudes
Las barras son reglas de escala orbital, no discos planetarios. Cada una parte del centro del Sol; la anchura completa representa a Neptuno.
| Planeta | Diámetro, mm | Escala orbital, m |
|---|---|---|
| Mercurio | 0,35 | 4,16 |
| Venus | 0,87 | 7,77 |
| Tierra | 0,92 | 10,75 |
| Marte | 0,49 | 16,39 |
| Júpiter | 10,05 | 55,94 |
| Saturno | 8,37 | 102,54 |
| Urano | 3,65 | 206,31 |
| Neptuno | 3,54 | 323,30 |
La tabla muestra por qué los planetas interiores parecen «amontonados» en una escala lineal fiel: incluso todo el trayecto hasta Marte ocupa solo alrededor del cinco por ciento del trayecto hasta Neptuno. Gran parte de la longitud del modelo corresponde a los huecos entre las referencias orbitales exteriores. Esto se debe a sus proporciones; elegir otra escala común no igualará esas fracciones.
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Cómo obtener 10,75 m sin perder ceros
Sea k la relación entre la longitud del modelo y la longitud real. Para calcularla, ambas deben expresarse en las mismas unidades. Un kilómetro contiene 100 000 cm, por lo que el diámetro solar es 1,3914 × (10)^(11) cm.
k = (10)/(1,3914 × (10)^(11)),; k ≈ 7,187 × (10)^( − 11).
Los centímetros se han cancelado. Para cualquier longitud L, la longitud correspondiente en el modelo es l = kL. Una au equivale a 1,495978707 × (10)^(13) cm. Para la referencia orbital terrestre:
l = kL,; l ≈ 1075,16 cm,; l ≈ 10,75 m.
Dividimos los centímetros entre 100 para obtener metros. Para Neptuno multiplicamos la longitud del modelo de una au sin redondear por las 30,070 au adoptadas y obtenemos unos 323,30 m. El mismo k se aplica al diámetro terrestre; en una escala común no existe un «factor para planetas» independiente.
En una página, los planetas casi desaparecen
Intentemos encajar la distancia del Sol a la referencia de Neptuno en 30 cm de papel. Hay que reducir el modelo anterior otras 1078 veces, aproximadamente. El Sol será un punto de unos 0,093 mm de diámetro, y la Tierra medirá apenas 0,85 micrómetros, es decir, 0,00085 mm. La Tierra no será un círculo visible en ese dibujo.
Si en cambio dejamos discos visibles y separaciones iguales cómodas, el dibujo puede mostrar bien el orden planetario o su aspecto. Pero ya no podremos medir con él las proporciones reales de las longitudes. Si las distancias son lineales y los planetas están agrandados, el pie debe indicarlo de inmediato. La compresión desigual de distancias o una escala logarítmica también necesitan una indicación explícita.
Por eso nuestra tabla no tiene círculos grandes al final de las barras. Estas muestran solo la escala orbital; los diámetros aparecen como números. En un paseo físico podemos colocar un cartel grande con el nombre para encontrar la diminuta maqueta del planeta. El cartel será un indicador, no un cuerpo agrandado presentado como parte de la escala exacta.
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Por qué una referencia orbital no es la dirección del planeta
En una descripción kepleriana sencilla, una órbita es una elipse con el Sol en uno de sus focos. El semieje mayor es la mitad del eje más largo de esa elipse. Describe su tamaño sin determinar la distancia Sol–planeta en cada instante. En una idealización circular sería igual al radio; no debemos sustituir silenciosamente las órbitas planetarias reales por círculos. JPL: definición geométrica del semieje mayor.
La regla usa valores redondeados de los semiejes mayores tomados de los coeficientes iniciales de la tabla de JPL para la época J2000. Por ejemplo, 5,203 au para Júpiter y 30,070 au para Neptuno. La fila terrestre de la fuente corresponde al centro de masas común de la Tierra y la Luna; aquí se redondea a la referencia didáctica de 1 au. Basta para nuestra escala aproximada, pero no para apuntar un telescopio con precisión. JPL: tabla y límites de los elementos aproximados.
Para dibujar posiciones en una fecha concreta también hacen falta la fase del movimiento, la orientación e inclinación orbital y un sistema de coordenadas coherente. El camino recto no reproduce esos datos. Responde con fidelidad a una pregunta más acotada: ¿cómo se comparan los tamaños de los cuerpos y los tamaños característicos de sus órbitas cuando todas las longitudes se reducen igual?
Una buena escala es fácil de comprobar
Antes de dibujar, elige qué debe caber: un Sol con cierto diámetro o la referencia orbital más lejana dentro de cierta longitud. Usa ese punto de partida para hallar un solo factor. Aplícalo a todos los diámetros y distancias; después decide cómo señalar los objetos demasiado pequeños. Un número o una llamada conserva la información cuando el disco verdadero no se ve.
Comprueba tu idea: aumentamos el Sol de 10 a 20 cm conservando una escala común. ¿Qué sucede con la Tierra y con el camino hasta la referencia orbital de Neptuno? El diámetro terrestre se duplica hasta unos 1,83 mm, y el camino hasta 647 m. Si solo se duplicaran los planetas, se rompería la escala común.
Podemos dibujar el Sistema Solar a escala reduciendo por igual todas las longitudes e indicando qué magnitudes orbitales mostramos. La dificultad es que un dibujo compacto deja los cuerpos casi invisibles, mientras que verlos exige un modelo largo. Vuelve a los componentes del Sistema Solar e intenta distinguir qué ilustraciones conocidas muestran el orden, cuáles los tamaños y cuáles conservan realmente las distancias.