Що означає квадрат числа і чому він зустрічається у фізиці?

Уявіть квадратну панель з однієї плитки. Зробімо панель удвічі ширшою та удвічі вищою. Скільки плиток знадобиться: дві чи чотири? Цей невеликий підрахунок пояснює і запис «число у квадраті», і те, чому віддалене джерело може давати значно менше світла на ту саму приймальну поверхню.

Квадрат числа — це число, помножене саме на себе: $a^2=a\times a$ . Коли обидві довжини поверхні збільшуються вдвічі, її площа зростає вчетверо. А коли незмінна потужність світла розподіляється по такій більшій площі, на кожну її одиницю припадає вчетверо менше. Для світла цей останній крок потребує конкретної геометрії та припущень про джерело; побудуймо їх по черзі.

Дві довжини дають два множники

Панель із двох плиток у ширину та двох у висоту має два ряди по дві плитки: усього чотири. Панель із трьох плиток у кожному напрямі містить дев’ять. Ми множимо кількість плиток у рядку на кількість рядків. Саме тому площа квадрата зі стороною $a$ дорівнює $a^2$ .

Важливо розрізняти помножити на два та піднести до квадрата. Для числа 3 перша дія дає 6, друга — 9. Верхня маленька двійка означає два однакові множники, а не додавання двох і не подвоєння. Множники можуть бути й дробовими: квадрат половини дорівнює чверті.

Якщо сторона має довжину 3 метри, площа становить 9 квадратних метрів, або 9 м². Це дев’ять квадратів 1 м на 1 м. Звичайний метр вимірює довжину, квадратний метр — площу. Запис м² не означає «два метри».

Геометрична картинка працює для додатних довжин. Як арифметична дія, піднесення до квадрата визначене й для нуля та від’ємних чисел: наприклад, $(-3)^2=9$ . Від’ємною стороною панелі цей приклад не стає.

Світло проходить крізь усе більшу поверхню

Тепер уявімо маленьке джерело у порожньому просторі. Воно працює стало й випромінює однаково в усі боки — таке випромінювання називають ізотропним. Джерело вважаємо точковим: його розмірами можна знехтувати порівняно з відстанню до приймача. На шляху немає речовини, що поглинає чи розсіює світло, і немає перешкод.

Проведімо навколо джерела уявну сферичну поверхню. Кожен промінь, що йде назовні, перетне її. Щосекунди крізь усю поверхню проходить така сама сумарна енергія, яку джерело щосекунди випромінює. Більша сфера не забирає частину цієї потужності: вона лише має більшу площу, через яку проходить світло.

Коли радіус сфери подвоюється, її поверхня розтягується у двох напрямах, і площа стає вчетверо більшою. При потрійному радіусі площа зростає вдев’ятеро. Форма тут кругла, але причина появи квадрата та сама, що й у плиток: площа має два виміри. University of Reading: виведення через сферичну геометрію та збереження енергії.

На рисунку спочатку порівняйте кількість плиток, а потім — площі уявних сфер. Відстань $r$ завжди відраховуємо від центра джерела.

Один множник відстані — два множники площі

1 · Спершу порахуйте однакові плитки

Сторона: 1 од.

Площа: 1 кв. од.

Сторона: 2 од.

Площа: 4 кв. од.

Сторона: 3 од.

Площа: 9 кв. од.

2 · Та сама геометрія працює на сферичній поверхні

Відстань від центра: r
Площа сфери: A₀
Потік на одиницю площі: F₀

Відстань від центра: 2r
Площа сфери: 4A₀
Потік на одиницю площі: F₀ / 4

Відстань від центра: 3r
Площа сфери: 9A₀
Потік на одиницю площі: F₀ / 9

Стале точкове джерело випромінює однаково в усі боки; поглинання й перешкод немає. A₀ та F₀ — площа сфери й отриманий потік при r.

Радіуси й сторони порівнюємо в однаковому лінійному масштабі. Круги та еліпси умовно зображають сферичні поверхні; їхня площа — не площа намальованого диска. Джерело збільшене. Числа — геометрична модель, не вимірювання.

Маленький приймач збирає лише частину світла. Поставмо його обличчям до джерела, перпендикулярно до променів, і збережімо його площу. На відстані $2r$ кожен квадратний метр уявної сфери одержує чверть того, що на відстані $r$ . Такий самий приймач відповідно збере вчетверо меншу потужність. На відстані $3r$ — удев’ятеро меншу.

Це закон обернених квадратів для нашої моделі поширення: відстань множиться на певне число, а отримана потужність на одиницю площі ділиться на квадрат цього числа. Відстань утричі більша — потік у дев’ять разів менший; відстань удвічі менша — потік у чотири рази більший. Джерело при цьому випромінює стільки ж, скільки раніше.

Йдеться про отриманий потік енергії на одиницю площі, а не про суб’єктивне відчуття яскравості. Геометричне розрідження також не означає, що кожен фотон у цій моделі поступово втрачає енергію. Та сама приймальна поверхня на більшій відстані перехоплює меншу частку загальної потужності.

Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити

Від площі сфери до ватів на квадратний метр

Площа сферичної поверхні радіуса $r$ :

A=4\pi r^2.

Тут $\pi\approx3{,}14$ . Позначимо повну випромінену потужність джерела через $L$ у ватах, а отриманий потік на одиницю площі — через $F$ у Вт/м². За наведених вище припущень:

F=\frac{L}{4\pi r^2}.

Візьмімо уявне джерело з $L=100$ Вт і $r=2$ м. Це 100 Вт випроміненої потужності, а не електрична потужність лампи з її упаковки. Короткі кроки розрахунку:

\begin{aligned} A&=4\pi(2\,\mathrm{m})^2\\ &\approx50{,}27\,\mathrm{m^2},\\ F&=\frac{100\,\mathrm{W}}{50{,}27\,\mathrm{m^2}}\\ &\approx1{,}99\,\mathrm{W/m^2}. \end{aligned}

На відстані 1 м отримуємо приблизно 7,96 Вт/м², а на 3 м — 0,884 Вт/м². Одиниці підказують зміст: ділимо вати на квадратні метри. Якщо помножити $F$ на площу всієї відповідної сфери, повернемо 100 Вт. Загальна потужність збереглася.

Чому не куб відстані? Об’єм сфери справді залежить від куба радіуса, але тут ми рахуємо енергію, що перетинає поверхню за секунду, а не заповнює весь об’єм. Тому в знаменнику стоїть площа.

Тьмяна зоря може бути потужною

Власну потужність зорі, випромінену на всіх довжинах хвиль, називають світністю. А потік, який доходить до нас, залежить і від світності, і від відстані, і від втрат на шляху. Тому слабкий сигнал сам собою не доводить, що зоря далека: вона може бути близькою, але випромінювати мало. OpenStax: світність та видима яскравість зір.

Порівняння «удвічі далі — чверть потоку» стосується того самого незмінного джерела або джерел з однаковою світністю за однакових інших умов. Для двох довільних зір таке порівняння без додаткових даних не працює.

Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити

Як різні джерела дають однаковий сигнал

Уявімо два ізотропні джерела без поглинання на шляху. Друге розташоване вдвічі далі, але має вчетверо більшу світність. Більша відстань ділить отриманий потік на 4, а більша світність множить його на 4. Ефекти компенсуються: на однакові приймачі надходить однакова потужність.

Саме тому астрономи шукають незалежний спосіб оцінити відстань або власну світність. Закон поширення пов’язує ці величини, але один вимір потоку не визначає їх обох. Якщо порівнюємо лише певний колір або діапазон випромінювання, потужності джерел теж треба брати в тому самому діапазоні.

Спочатку перевірте джерело й геометрію

Далека зоря часто наближено відповідає моделі маленького ізотропного джерела. Проте поблизу великої світної панелі різні її частини мають різні відстані й напрями до приймача. Звести їх до однієї точки вже не завжди можна. Не слід без перевірки переносити наше правило й на приймач поблизу видимої поверхні зорі. NBS/NIST: обмеження для протяжних джерел, с. 30–31.

Лазерний промінь не розподіляє повну потужність рівномірно по всій сфері. Для нього потрібно знати, як змінюється поперечний переріз пучка; формула $L/(4\pi r^2)$ не описує будь-яку відстань від вихідного отвору. Пил, туман, затінення чи зміна самого джерела також змінять отриманий сигнал. Закон обернених квадратів тут описує саме геометричне поширення за названих умов.

Перевірмо розуміння: приймач перемістили від $2r$ до $3r$ . Яка частина попереднього потоку залишилася? Не одна дев’ята: попередній потік уже становив чверть потоку при $r$ . Нова відстань більша за попередню в півтора раза, тож площа зростає у 2,25 раза. Отримуємо $4/9$ попереднього потоку — приблизно 44%.

Квадрат числа виникає тут тому, що площа змінюється у двох напрямах. Обернений квадрат додає ще один крок: збережена потужність ділиться на цю площу. Поглянувши на нічне небо, тепер можна відділити «до нас доходить мало світла» від «ця зоря випромінює мало». Наступний математичний крок у курсі — кути й висота зорі над горизонтом.