Що таке формула і як її читати?

Уявімо візок, який за кожну секунду проходить два метри. За першу секунду — два, за другу — ще два, за третю — ще два. Щоб знайти весь шлях, можна додати три однакові ділянки. А можна коротко записати зв’язок, який спрацює і для трьох, і для п’яти секунд. Саме для цього потрібна формула.

Фізична формула записує зв’язок між визначеними величинами за допомогою символів і математичних дій. Прочитати її — означає з’ясувати, що позначають символи, як пов’язані величини та за яких умов цей зв’язок застосовний. Лише після цього підставляють числа разом з одиницями. NIST: рівняння між величинами, §7.11.

Спочатку скажімо зв’язок словами

Уточнімо нашу уявну ситуацію: візок їде прямо зі сталою швидкістю відносно землі. Розгін уже закінчився, а гальмування ще не почалося. За рівні проміжки часу він проходить однаковий шлях. Тому весь шлях отримуємо, помноживши швидкість на тривалість руху.

«Два метри за секунду» означає, що протягом кожної секунди додаються два метри шляху. За три секунди набереться три таких внески: два плюс два плюс два — шість метрів. Тут множення скорочує додавання однакових частин.

Ми задали умови моделі, а не виміряли справжній візок. Числа поки потрібні, щоб побачити зміст зв’язку. Коли він зрозумілий словами, можна дати величинам короткі назви.

Три букви замінюють три довгі назви

Позначимо пройдений шлях буквою $d$ , сталу швидкість — $v$ , а тривалість розглянутого руху — $t$ . Тоді:

d=vt.

Читаємо: «шлях дорівнює швидкості, помноженій на час». Дві букви поруч, $vt$ , тут означають добуток $v\times t$ , а не одне довге ім’я «вт». Знак рівності каже, що величини ліворуч і праворуч мають однакове значення. Він не означає «а тепер неодмінно порахуй».

Буква сама не пояснює свого змісту. В іншому тексті шлях можуть позначити $s$ або $l$ , а $t$ може мати іншу роль. Тому визначення поруч із формулою — частина пояснення, а не примітка для фахівців. Так само одиниця не закріплена за буквою: шлях можна виразити в метрах чи кілометрах. BIPM: символи величин і добутки, §§5.4.1, 5.4.6.

На рисунку прочитайте формулу, а потім знайдіть кожний її символ у підписах. Три однакові смуги показують, чому множення відповідає нашій ситуації.

Три секунди — три однакові ділянки шляху

d = v × t

d · Пройдений шлях: 6 м
v · Стала швидкість: 2 м/с
t · Тривалість руху: 3 с

2 мза 1 с

Разом: 6 м

Навчальна модель: візок рухається прямо зі сталою швидкістю відносно землі. Кожна смуга — 2 м шляху за 1 с; однакова довжина смуг означає однаковий шлях. Це задані умови, не результати вимірювання. Розгін і зупинка поза цим проміжком.

Підставляємо величини разом з одиницями

У цьому прикладі використовуємо метри та секунди: $v=2$ м/с і $t=3$ с. Метр за секунду скорочено записують «м/с»; у міжнародному позначенні — «m/s». Риска означає ділення. Підставимо обидва значення:

\begin{aligned} d&=(2\ \text{м/с})\times(3\ \text{с})\\ &=6\ \text{м}. \end{aligned}

Секунди в знаменнику одиниці швидкості скорочуються із секундами тривалості. Залишаються метри — саме одиниця шляху. Це корисна перевірка: якби замість множення швидкості на час ми поділили її на час, отримали б м/с², що не є одиницею довжини.

Одиниці не можна дописати навмання після арифметики. Якщо виразити ту саму швидкість як 120 метрів за хвилину, три секунди треба подати як 0,05 хвилини. Добуток 120 на 0,05 знову дає 6 метрів. Множення голих чисел 120 і 3 загубило б різницю між секундою й хвилиною.

Правильна одиниця ще не гарантує правильної формули. Вираз «подвоєна швидкість, помножена на час» теж мав би одиницю довжини, але давав би хибний шлях для нашого візка. Перевіряємо і одиниці, і зміст.

Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити

Одна рівність відповідає на різні запитання

Нехай відомо, що візок пройшов 6 м за 3 с. Яка його стала швидкість? Рівність можна читати в обидва боки. Поділивши обидві її частини на ненульовий час, дістанемо:

\begin{aligned} v&=\frac{d}{t}\\ &=\frac{6\ \text{м}}{3\ \text{с}}\\ &=2\ \text{м/с}. \end{aligned}

Якщо натомість шукаємо час проходження 6 м зі сталою швидкістю 2 м/с, ділимо шлях на швидкість:

\begin{aligned} t&=\frac{d}{v}\\ &=\frac{6\ \text{м}}{2\ \text{м/с}}\\ &=3\ \text{с}. \end{aligned}

Таке ділення потребує $v>0$ . При нульовій швидкості ненульовий шлях не буде пройдено за жодний скінченний час у цій моделі; ділити на нуль не можна. Зміна вигляду рівності не додає нового фізичного закону — вона допомагає поставити інше запитання до того самого зв’язку.

Перевіряємо, чи ця швидкість стосується всього проміжку

Уявімо, що прилад показав 2 м/с лише на початку, а далі візок пригальмував або зупинився. Чи можемо автоматично множити це показання на всі три секунди? Ні. Одне показання описує швидкість у певний момент, а наш початковий розрахунок припускав ту саму швидкість протягом усього проміжку.

Для руху зі змінною швидкістю весь шлях можна поділити на всю тривалість і отримати середню швидкість проходження шляху. Якщо відома саме вона для потрібного проміжку, добуток цієї середньої швидкості на тривалість теж дасть увесь шлях. Але довільне миттєве показання її не замінює. OpenStax: середня та миттєва швидкість.

Також домовимося, що $d$ тут — довжина пройденого шляху. Якщо візок повернеться до старту, шлях не зникне. Нульовим стане переміщення — зміна положення від початку до кінця. Це інша величина, яка враховує напрямок. Підміна шляху переміщенням змінює зміст формули. OpenStax: шлях і переміщення.

Формула може описувати зв’язок, не пояснюючи причину. Запис $d=vt$ дозволяє знайти шлях за заданої сталої швидкості, але сам не каже, які взаємодії могли б змінити рух візка. Щоб пояснити розгін, потрібні інші відомості та інша модель.

Відгалуження · ПозначенняНеобов’язково · можна пропустити

Добуток, індекс і квадрат — різні записи

Маленький знак біля букви може повністю змінити читання:

$vt$ — добуток швидкості та часу.
$v_1$ — швидкість із нижнім індексом «один». Домовимося, що це швидкість на першій ділянці. Індекс є міткою, а не множенням на один.
$v^2$ — квадрат швидкості: $v\times v$ , а не $2v$ .

Наприклад, якщо $v=3$ м/с, то $2v=6$ м/с, а $v^2=9$ м²/с². Змінилися і число, і одиниця. Значення індексу треба шукати у визначенні автора; не кожний верхній знак у науці є степенем. NIST: символи, індекси й надрядкові позначення.

Ще одна відмінність: $=$ означає рівність, а $\approx$ — наближену рівність. У нашому заданому прикладі добуток 2 на 3 точно дорівнює 6. Під час реального вимірювання швидкість і час матимуть невизначеність, тож запис багатьох цифр не зробить прогноз точним до останньої з них.

Прочитати формулу — означає вміти перевірити її застосування

Спробуйте відповісти без нового підрахунку: як зміниться шлях нашого візка, якщо та сама стала швидкість збережеться вдвічі довше? Він подвоїться: кожна додаткова секунда дає такий самий внесок. За шість секунд вийде 12 метрів. А за нуль секунд у цій моделі шлях дорівнює нулю.

Друга перевірка: візок проїхав два метри вперед і два назад до старту. Чи його шлях дорівнює нулю? Ні: шлях становить чотири метри, а переміщення — нуль. Для цього висновку не треба вдавати, що швидкість залишалася сталою під час розвороту.

Перед застосуванням незнайомої формули пройдіть чотири кроки: назвіть величини словами, прочитайте дії між ними, узгодьте одиниці, перевірте умови моделі. Тоді числа матимуть фізичний зміст, а результат можна буде перевірити.

Ми почали з трьох однакових ділянок шляху й отримали короткий запис цілої групи можливих ситуацій. Формула корисна саме тим, що дозволяє міркувати про зв’язок ще до вибору чисел. Для власної вправи змініть тривалість на п’ять секунд і поясніть, чому отримаєте десять метрів. Далі в курсі цей спосіб читання допоможе оцінювати час космічної подорожі — з окремою увагою до того, коли припущення про сталу швидкість прийнятне.