Sayınıñ kvadratı ne demek ve o fizikada ne içün rastkele?

Bir plitkadan yapılğan kvadrat panelni köz ögüne ketiriñiz. Panelni eki kere keñ ve eki kere yüksek yapayıq. Qaç plitka kerek olur: eki mi, dört mü? Bu kiçik esap em «sayınıñ kvadratı» degen sözni, em de uzaqtaki menba aynı alıcı yüzge ne içün bayağı az nur bere bilgenini añlata.

Sayınıñ kvadratı — sayınıñ öz-özüne çarpılmasıdır: $a^2=a\times a$ . Yüzniñ eki uzunlığı da eki kere artsa, onıñ meydanı dört kere arta. Aynı nur qudreti bu büyük meydanğa tarqalsa, er birim meydanğa evelkiniñ dörtte biri tüşe. Nur içün bu soñki adım belli bir geometriyanı ve menba aqqında şartlarnı talap ete. Olarnı sıra ile qurayıq.

Eki uzunlıq eki çarpan bere

Keñligi eki plitka ve yüksekliği eki plitka olğan panelde eki sıra bar, er sırada eki plitka: cemisi dört. Er yönde üç plitkası olğan panelde doquz plitka bar. Bir sıradaki plitka sayısını sıra sayısına çarpamız. Onıñ içün tarafı $a$ olğan kvadratnıñ meydanı $a^2$ olur.

Ekige çarpmaq ile kvadratqa kötermekni ayırmaq kerek. 3 sayısı içün birinci amel 6, ekincisi 9 bere. Yuqarıda yazılğan kiçik eki raqamı eki bir türlü çarpan demektir; o, eki qoşmaq ya da eki kere arttırmaq degil. Çarpanlar kesir de ola bile: yarımnıñ kvadratı dörtte birdir.

Tarafnıñ uzunlığı 3 metr olsa, meydan 9 kvadrat metr, yani 9 m² olur. Bu, er biri 1 m geniş ve 1 m yüksek olğan doquz kvadrattır. Metr uzunlıqnı, kvadrat metr ise meydannı ölçe. m² yazısı «eki metr» demek degil.

Geometrik resimde müsbet uzunlıqlar qullanılğan. Esap ameli olaraq kvadratqa kötermek sıfır ve menfiy sayılar içün de belgili: meselâ, $(-3)^2=9$ . Bu, panelniñ tarafı menfiy uzunlıqta demek degil.

Nur daa büyük yüzden keçe

Şimdi boş feza içinde kiçik bir menbanı köz ögüne ketiriñiz. O, sabit çalışa ve er tarafqa bir türlü nur saça; buña izotrop nur saçuv deyler. Menbanı noqtalı dep sayamız: alıcıya qadar mesafe yanında onıñ ölçüsi pek kiçik. Yolda nurnı yutqan ya da saçıratqan madde ve engeller yoq.

Menba etrafında hayaliy bir küre yüzü çizelim. Tışarı ketken er nur şu yüzden keçe. Er saniye bütün yüzden keçken energiya menba bir saniyede saçqan energiyağa teñdir. Daa büyük küre bu qudretniñ bir qısmını yoq etmey: sadece nurnıñ keçken meydanı daa büyük ola.

Küreniñ radiusı eki kere artqanda, onıñ yüzü eki yönde keñey ve meydanı dört kere arta. Radius üç kere artsa, meydan doquz kere arta. Şekil yuvarlaq, amma kvadratnıñ peyda oluv sebebi plitkalardaki kibi: meydannıñ eki ölçüsi bar. University of Reading: küre geometriyası ve energiyanıñ saqlanuvından çıqarılğan bağ.

Sızmada evvel plitka sayısını, soñra hayaliy kürelerniñ meydanlarını muqayese etiñiz. $r$ mesafesini er vaqıt menbanıñ merkezinden ölçeymiz.

Bir mesafe çarpanı — eki meydan çarpanı

1 · Evvel bir türlü plitkalarnı sayıñız

Taraf: 1 birim

Meydan: 1 kvadrat birim

Taraf: 2 birim

Meydan: 4 kvadrat birim

Taraf: 3 birim

Meydan: 9 kvadrat birim

2 · Aynı geometriya küre yüzünde de işler

Merkezden mesafe: r
Küre meydanı: A₀
Birim meydanğa tüşken aqım: F₀

Merkezden mesafe: 2r
Küre meydanı: 4A₀
Birim meydanğa tüşken aqım: F₀ / 4

Merkezden mesafe: 3r
Küre meydanı: 9A₀
Birim meydanğa tüşken aqım: F₀ / 9

Sabit noqtalı menba er tarafqa bir türlü nur saça; yutulma ve engeller yoq. A₀ ve F₀ — r mesafesindeki küre meydanı ve alınğan aqım.

Er muqayesede taraflar ve radiuslar aynı uzunlıq miqyasında çizildi. Daireler ve ellipsler küre yüzlerini şematik köstere; küre meydanı çizilgen diskniñ meydanı degil. Menba büyütildi. Raqamlar ölçevlerni degil, geometrik modelni tasvirley.

Kiçik alıcı nurnıñ tek bir qısmını toplay. Onı menbağa doğru, nurlarğa perpendikulyar qoyayıq ve meydanını deñiştirmeyik. $2r$ mesafesinde hayaliy küreniñ er kvadrat metri $r$ mesafesindekiniñ dörtte birini ala. Aynı alıcı da dört kere az qudret toplar. $3r$ mesafesinde ise doquz kere az.

Bu, bizim tarqaluv modelimiz içün ters kvadratlar qanunıdır: mesafeni belli bir çarpanğa arttırsaq, birim meydanğa alınğan qudret şu çarpannıñ kvadratına bölüne. Üç kere büyük mesafe aqımnıñ doquzda birini, yarım mesafe ise dört kere büyük aqım bere. Menba bu sırada evelki qadar qudret saça.

Söz birim meydanğa alınğan energiya aqımı aqqında kete; insan közünde duyulğan yarıqlıq aqqında degil. Geometrik tarqaluv bu modelde er foton yavaş-yavaş energiyasını coyğanını da añlatmay. Aynı alıcı yüz daa büyük mesafede umumiy qudretniñ daa kiçik bir payını tuta.

Dal · Formulalarnenİhtiyariy · keçip kete bilesiñiz

Küre meydanından kvadrat metr başına vattqa

Radiusı $r$ olğan küre yüzüniñ meydanı:

A=4\pi r^2.

Mında $\pi\approx3{,}14$ . Menbanıñ bütün saçqan qudretini $L$ ile vattlarda, birim meydanğa alınğan aqımnı $F$ ile W/m² biriminde belgileyik. Yuqarıda aytılğan şartlarda:

F=\frac{L}{4\pi r^2}.

$L=100$ W ve $r=2$ m olğan hayaliy menbanı alayıq. Bu, lampanıñ qutusında yazılğan elektrik qudreti degil, nur olaraq saçılğan 100 W qudrettir. Esapnı qısqa adımlarğa böleyik:

\begin{aligned} A&=4\pi(2\,\mathrm{m})^2\\ &\approx50{,}27\,\mathrm{m^2},\\ F&=\frac{100\,\mathrm{W}}{50{,}27\,\mathrm{m^2}}\\ &\approx1{,}99\,\mathrm{W/m^2}. \end{aligned}

1 m mesafesinde taqriben 7,96 W/m², 3 m mesafesinde ise 0,884 W/m² alamız. Birimler mananı köstere: vattlarnı kvadrat metrlerge bölemiz. $F$ -ni ilgili küreniñ bütün meydanına çarpsaq, kene 100 W çıqa. Umumiy qudret saqlanıp qaldı.

Ne içün mesafeniñ kubı degil? Küreniñ acmı aqiqaten radiusnıñ kubına bağlı. Amma biz mında bütün acımnı toldurğan energiyanı degil, er saniye yüzden keçken energiyanı sayamız. Onıñ içün bölüvniñ astında meydan tura.

Sönük körüngen yıldız qudretli ola bile

Yıldıznıñ bütün dalğa uzunlıqlarında saçqan qudreti — onıñ öz nur qudretidir (astronomiyada: luminosity). Bizge kelgen aqım bu qudretke, mesafege ve yoldaki coyuluvlarğa bağlı. Onıñ içün zayıf signal tek başına yıldıznıñ uzaqta olğanını isbatlamay: o yaqında olup, az qudret saça bile. OpenStax: yıldıznıñ öz nur qudreti ve körüngen yarıqlığı.

«Eki kere uzaqta — aqımnıñ dörtte biri» muqayesesi aynı, deñişmegen menbağa ya da başqa şartları bir türlü ve öz nur qudretleri teñ menbalarğa aittir. Er angi eki yıldıznı qoşma malümatsız böyle muqayese etmek olmaz.

Dal · Terenrekİhtiyariy · keçip kete bilesiñiz

Farqlı menbalar nasıl aynı signal bere?

Yollarında yutulma olmağan eki izotrop menbanı köz ögüne ketiriñiz. Ekincisi eki kere uzaqta, amma öz nur qudreti dört kere büyük. Büyük mesafe alınğan aqımnı 4-ke böle, büyük qudret ise 4-ke çarpa. Tesirler bir-birini qaplay: bir türlü alıcılar aynı qudretni toplay.

Onıñ içün astronomlar mesafeni ya da öz nur qudretini bağımsız usulnen tapmağa tırışalar. Tarqaluv qanunı olarnı bağlay, amma aqımnıñ bir ölçevinden eki miqdarnı da tapıp olmaz. Tek belli bir renkni ya da nur diapazonını muqayese etsek, menbalarnıñ qudretleri de aynı diapazonğa ait olmalı.

Evvel menbanı ve geometriyanı teşkeriñiz

Uzaqtaki yıldız çoqu zaman kiçik izotrop menba modeline taqriben uyğun kele. Amma büyük nur saçqan panel yanında onıñ farqlı qısımları alıcıdan farqlı mesafelerde ve yönlerde yerleşe. Olarnı bir noqta ile deñiştirmek er vaqıt mümkün degil. Bizim qaidemizni yıldıznıñ körüngen yüzüne yaqın alıcığa da teşkermeden keçirmek olmaz. NBS/NIST: keñ menbalar içün sıñırlar, s. 30–31.

Lazer demeti bütün qudretini bir küre boyunca teñ tarqatmay. Demetniñ köndelen kesigi nasıl deñişkenini bilmek kerek; $L/(4\pi r^2)$ formulası çıqış teşiginden er angi mesafeni tasvirlemey. Toz, tuman, kölge ya da menbanıñ öz deñişmeleri de alınğan signalnı deñiştire. Mında ters kvadratlar qanunı aytılğan şartlarda geometrik tarqaluvnı tasvirley.

Fikirni teşkerelim: alıcı $2r$ mesafesinden $3r$ mesafesine keçirildi. Evelki aqımnıñ nasıl payı qaldı? Doquzda biri degil: evelki aqım artıq $r$ mesafesindeki aqımnıñ dörtte biri edi. Yañı mesafe evelkisinden bir buçuq kere büyük, demek meydan 2,25 kere arta. Evelki aqımnıñ $4/9$ payını, yani taqriben 44%-ni alamız.

Mında sayınıñ kvadratı meydan eki yönde deñişkeni içün peyda ola. Ters kvadrat oña daa bir adım qoşa: saqlanğan qudret şu meydanğa bölüne. Gece köküne baqqanda, şimdi «bizge az nur kele» ile «bu yıldız az nur saça» degen fikirlerni ayıra bilesiñiz. Kurstaki soñraki matematik adım — köşeler ve yıldıznıñ ufuktan yüksekliği.