Bugün planetağa baqa bilemiz. Amma bir aydan soñ, o vaqıttaki kökni daa kimse körmegen eken, onıñ qayda olacağını nasıl ögünden aytmaq mümkün? Tek orbita resmi yetmey: o yolnı köstere, lâkin planeta onıñ belli bir yerine ne zaman kelecegini aytmay.
Areket modeli ve başlanğıç al berilse, matematika planetanıñ yerini tahmin etmege imkân bere. Bu tahminniñ işançlılığını yañı közlemler ile teşkereler. Başlanğıç al belli bir andaki yerni ve tezlikni içine ala; tezlikniñ em miqdarı, em yönelişi bar. JPL: orbitalar ve efemeridler nasıl belgilene.
Yolğa saat ve areketniñ sebebi de kerek
Qapalı bir egri sızıp, üstüne noqta qoysaq, daa çoq imkân qala. Cisim bir ya da öbür tarafqa, tez ya da yavaş areket ete bile. Atta aynı başlanğıç noqta kelecekni belgilemey. Cisim şimdi nasıl areket etkenini ve bu areket hangi qaidege köre deñişkenini bilmek kerek.
Fizik modelde bu qaide — quvetler tesirindeki areket qanunıdır. Planeta inertsiya sayesinde areketini devam ettire, yıldıznıñ çekişi ise onıñ tezligini deñiştire. Çember orbitada çekiş tezlikniñ yönelişini devamlı olaraq yañı teget yönelişine çevire. Uyğun başlanğıç tezlikte yıldızğa mesafe sabit qala. Bu hususiy bir aldır; cisimni er türlü fırlatqanda aynı netice çıqmay. OpenStax: çember orbitanıñ mehanikası.
Demek, sebep-netice zinciri şöyledir: quvetler ve başlanğıç al → areketniñ deñişmesi → soñraki anlardaki yerler. Umumiy meselede kompyuter bu deñişmelerni adım-adım esaplay. Bazı sadeleştirilgen allar içün zamannı doğrudan yer ile bağlağan matematik çezim bar. Tahminni oqumağa ögrenmek içün şunday bir çezimni qullanarmız.
Şartları açıq aytılğan bir hayaliy orbita quralım
Planetanı ondan pek çoq ağır bir yıldız etrafında tasavur eteyik. Yıldıznıñ öz areketini ve başqa cisimlerniñ tesirini esapqa almaymız. Orbita radiusı 1 au olğan çemberdir, bir devir ise 360 kün devam ete. Bular hayaliy sistem içün mahsus seçilgen ögretici sayılardır; Yerniñ yılı ya da Küneş sistemi içün tahmin degil. Bir astronomik birlik, au, taqriben 150 million kilometrdir. JPL: au tarifı.
Radius, devir müddeti ve yıldıznıñ çekişi çember areketine uyğun olmalı: belli bir aqiqiy yıldız içün radiusnı ve devir müddetini bir-birinden bağımsız olaraq er türlü seçip olamay. Mında mümkin bir idealleştirilgen sistem beremiz; böylece grafik oquvnı quvetlerniñ daa mürekkep esabından ayıramız.
Orbita tüzleminde sabit oqlar seçeyik. Yıldız koordinatalarnıñ başlanğıcıdır; müsbet x sağğa, y yuqarığa baqa. Bu tüzlemge tik baqamız. t = 0 anında planeta yıldıznıñ sağında ve saat tiline ters areket ete. Devir müddeti — tam bir devirden soñ aynı yerge aynı areket yönelişi ile qaytmaq içün kerek olğan zamandır.
Çember boyunca sabit sürat ile arekette devir müddetiniñ dörtte birinde çemberniñ dörtte biri keçile. 90 künden soñ planeta yuqarıda, 180-den soñ solda, 270-ten soñ aşağıda, 360-tan soñ ise tekrar sağda olur. Artıq tek yolnıñ şeklini degil, belli zamanlar içün belli yerlerni de elde ettik.
Koordinata grafigi orbita resminden başqadır
Birinci sızmada eki oq da mekânnı añlata: planeta yıldızdan ne qadar sağda ya da solda, yuqarıda ya da aşağıda. Ekinci sızmada yatıq oq — zaman, tik oq ise tek x koordinatasıdır. B noqtası eki sızmada da aynı annı belgiley, amma oqlarnıñ manası başqadır.
Ögretici model: R = 1 au, T = 360 kün. Bu Yerniñ orbitası degil.
Orbita tüzlemine baqış
Zamanğa bağlı x koordinatası
Yıldız — başlanğıç; oqlar sabit. Tüzlemge tik baqamız. Areket A → B → C → D → E tertibinde.
| Noqta | t (kün) | Köşe | x (au) | y (au) |
|---|---|---|---|---|
| A | 0 | 0° | +1 | 0 |
| B | 90 | 90° | 0 | +1 |
| C | 180 | 180° | −1 | 0 |
| D | 270 | 270° | 0 | −1 |
| E | 360 | 360° | +1 | 0 |
x = 0 olğanda planeta yıldızğa kelmey. B ve D noqtalarında y başqadır. Noqtalar ve yıldız büyütildi; bular közlem degil.
Grafikte x, +1 au-dan −1 au-ğa qadar eksile, soñra tekrar arta. Bu, planeta doğru boyunca ileri-keri yüre degeni degil. Cisminiñ özü yıldız etrafında çember boyunca ketkende, tek x oqındaki proyeksiyası böyle deñişe. Yıldızğa mesafe er zaman 1 au qala; menfiy ola bilgen şey koordinatadır, mesafe degil.
B ve D bunı açıq köstere. Ekisinde de x = 0, amma B-de planeta yuqarıda, D-de ise aşağıda. Bir koordinata tam yerni qaytadan tapmağa yetmey. y de, ya da köşe ve radius kerek. Bundan ğayrı, çember boyunca sürat sabit olsa da, x teñ zaman aralıqlarında teñ miqdarda deñişmey: sağ ve sol kenarlarda areket esası y boyunca yönelgen.
Dal · Formulalar ileİhtiyariy · keçip ketmek mümkün
Zaman eki koordinatağa nasıl çevirile
Radiusnı R, devir müddetini T, müsbet x yönelişinden ölçelgen köşeni θ ile belgileyik. Bizim başlanğıç ve areket yönelişi içün:
θ(t) = (360)^(∘)(t)/(T).
t zamanı ve T devir müddeti aynı birliklerde olmalı. Olarnıñ nisbeti devirniñ payıdır. Kosinus ve sinus köşeni radiusnıñ eki oqtaki proyeksiyalarına çevire:
x(t) = Rcosθ(t),; y(t) = Rsinθ(t).
Bu — parametrleştirme: koordinatalarnı bir umumiy parametr, mında zaman, arqalı bermek usulı. Grafikteki kosinus egri bu geometriyadan çıqa; noqtalarğa köz qararı ile uyğunlaştırılmadı. Sinus ve kosinus yazuvınıñ özü orbitanı hangi quvet tutqanını añlatmay.
Meselâ, 45 künden soñ:
(t)/(T) = (45)/(360) = (1)/(8),; θ = (45)^(∘),; x ≈ 0,707 au,; y ≈ 0,707 au.
Planeta sağ yuqarıda; yıldızdan 0,707 au mesafede degil. Eki koordinata beraber 1 au radiusnı bere. t = 0 olğanda formulalar (R,0) qaytara; t = T olğanda bir devirden soñ aynı yer qayta. Programmalarda sin/cos funktsiyaları köşeni adetince radianda qabul ete: birinci formulada (360)^(∘) yerine 2π alınır.
Sızılğan tahminni kök ile daa qıyaslamaq kerek
Bizim şemada bütün noqtalar bir qaidege köre esaplandı. Olarnıñ egri ile uyğunlığı resim ve esapnıñ bir-birine uyğunlığını teşkere. Bu daa bir aqiqiy planeta tam böyle areket ete degenni köstermey.
Teşkerüv içün evelâ modelni ve onıñ parametrlerini belgilep, soñra tahminni yañı ölçevler ile qıyaslaylar. Yerden körüngen kökteki yerni tahmin etsek, közlemciden baqqandaki uyğun yönelişni esaplamaq kerek. Onı yıldız merkezde olğan sistemdeki koordinatağa doğrudan teñleştirip olamay. Tam qıyaslav içün ışıqnıñ közlemcige yetip kelüv vaqtı da esapqa alına. JPL Horizons: koordinatalar ve közlemci cedvelleri.
Farqnı ölçev belgisizligi ile beraber qıymetlendireler. O, başlanğıç alnıñ yeterince doğru belgilenmegenini, esapqa alınmağan bir tesirni ya da közlem meselesini köstere bile. Yañı malümat çezimni yahşılaştırmağa yardım ete; bir kere uyğun kelmek modelni bütün kelecek anlar içün hatasız yapmay.
Dal · Terenrekİhtiyariy · keçip ketmek mümkün
Uyğunlaştırma teşkerüvden ne ile farq ete
Devir müddetini ve başlanğıç yerni egri evelden belli ölçevlerniñ yaqınından keçsin dep seçkenimizni tasavur eteyik. Bu — parametrlerni uyğunlaştırma. O kerektir, çünki aqiqiy cisimniñ başlanğıç alı soñsuz bir tamlıq ile belli olamay. Amma şu ölçevler egrini seçüvge endi tesir etti; olar ile uyğunlıq bağımsız teşkerüv degil.
Tahmin uyğunlaştırmada qullanılmağan bir közlem ile uyğun kelirmi dep soramaq faydalıdır. Başqa zamanda model daa işe yaraymı? Keçmişniñ bir parçasını yahşı qaytarlamaq ondan pek uzaqqa yahşı devam ettirmege kefalet bermey.
JPL ayrıca planetalarnıñ yaqlaşık yerleri içün uyğunlaştırılğan orbita unsurları ve olarnıñ deñişüv süratleri ile formulalar neşir ete. Olar içün zaman aralıqları ve hata qıymetlendirmeleri berilgen; formulalarnıñ şekli olarnı bu aralıqlardan tışarı qullanmağa esas bermey. JPL: planetalarnıñ yaqlaşık yerleri.
Aqiqiy efemeridler ne qoşa
Aqiqiy planetalar Küneş etrafında sabit sürat ile bir türlü çemberler boyunca aylanmay. Eki cisim yaqlaşuvında orbitalar ellipsler ile tariflene; planeta Küneşke yaqın olğanda daa tez yüre. NASA: Kepler qanunları. Cisimlerniñ bir-birini çeküvi areketni ayrıca deñiştire, onıñ içün areket tam olaraq tekrarlanmay. JPL: deñişmez orbita fikriniñ sıñırları.
Efemeridler belli zamanlar içün esaplanğan yerlerni ve areketniñ başqa hususiyetlerini bere. Meselâ, JPL DE440 ve DE441-ni areket teñlemelerini sayısal usul ile çezip, neticeni Yerdeki ve fezadaki közlemler ile uyğunlaştırıp yarattı. Bu, aqiqiy esapnıñ tarihı belli misalidir; bizim çember modelimizniñ adı degil. Park ve digerleri, 2021: DE440/DE441 aqqında ilk maqale.
Horizons kibi sistemge sual bergende cisimni, annı, merkezni ya da közlemcini, koordinata sistemini ve birliklerni köstermek kerek. «Mars qayda olacaq?» bu şartlar olmadan tam sual degil. Efemerid — malümat ve esapnıñ tamlığı ile sıñırlanğan model neticesidir; kelecekniñ fotosı degil.
Ögretici şemağa qaytayiq: 450 künden soñ x koordinatası tekrar sıfırdır. Planeta başlanğıç yerine qayttımı? Yoq. 450 kün — bir tam devir ve daa dörtte bir devir. Planeta B-dedir: x = 0, y = + 1 au. A-ğa o 360 künden soñ qaytqan edi. Mında tek grafikteki noqtanıñ yüksekligi degil, zaman ve koordinatalarnıñ manası da kerek.
Demek, areketni tahmin etmek mümkün: fizik qanunlar ve başlanğıç al kelecekteki yerlerni bere, yañı közlemler ise tamlıqnı teşkere. Grafik bu bağnı, oqlarnıñ manasını ve model sıñırlarını añlağanda, körünir yapa. Küneş sistemasınıñ terkibine tekrar baqıñız: bu resimdeki er qoşma cisim daa tam bir esapnıñ parçası ola bile.