Mektepte ögrenilgen üçköşelikniñ köşeleri 180° toplay. Şimdi ise üç köşesi de tik olğan üçköşelikni köz ögüñe ketir. Tarafları küre yüzünden keçse, bu mümkündür. Toplamada hata yoq: qaideni qullanğan geometriyamız deñişti.
Feza cisimlerniñ mümkün yerlerini ve aralarındaki feza munasebetlerini tasvirley. Egrilik ölçengen mesafeler ve köşeler arasındaki nisbetlerniñ Evklid geometriyasından farqlı olmasını añlata. Umumiy nisbiylik nazariyesinde gravitatsiyanıñ fizikiy tasviri feza ve vaqıtnıñ birleştirilgen geometriyasını qapsay. Bu fikirni añlamaq içün tasavur etmesi qolay bir yüzden başlayıq.
Koordinatalar adresni, geometriya mesafeni bere
Odadaki yerni bildirmek içün üç sayı ölçemek mümkün: bir divardan, başqa divardan ve döşemeden mesafe. Böylece üç feza ölçüsini qullanamız. Sayılar sayuv başlangıcına ve yönlerine bağlı. Cisimler arasındaki cetveller ne kösterecegini bilmek içün mesafe ölçev qaideleri de kerek.
Torluca kâğıtta bu qaideler tanış. Eki noqtanı doğru kesim birleştire; tik köşeli üçköşelikte Pifagor teoreması işleye. Koordinata torunı dalğalı sızıqlar ile qaytadan sızsaq, kerçek kesimlerniñ uzunlığı deñişmey. Acayip haritanıñ özü egrilikni isbatlamay.
Fizikada geometriya ölçevler ile teşkerile. Matematik feza añlamı eki ölçülü yüzge de uyğundur: onıñ boyunca eki mustaqil yönde areket etmek mümkün. Einstein Online feza luğatı bu keniş mana ile tanış üç ölçülü fezanı ayıra.
Üç tik köşeli üçköşelikni nasıl yapmaq mümkün?
Dağsız, mükemmel yuvarlaq globus tasavur et. Şimal qutbundan meridian boyunca ekvatorğa bar. Soñ ekvator boyunca tam çemberniñ çeyregini keç: boylam boyu 90°. Başqa meridiandan qutupqa qayt.
Er eki meridian ekvatornen tik köşe altında körüşe. Qutupta aralarındaki köşe de 90°. Demek, toplam 270°. Köşeler tegiz resimdeki sızıqlar arasında degil, yüzniñ özündeki yönler arasında ölçene.
Taraflarımız büyük çemberlerniñ yaylarıdır: olar küreni merkezinden keçken tegizlikler kesken yerde peyda ola. Seçilgen köşeler arasındaki qısqa yaylar yüz boyunca eñ qısqa yollardır. Bular geodeziklerniñ, berilgen geometriyanıñ yerli olaraq eñ doğru mümkün sızıqlarınıñ misalidir. Globusnıñ içinden keçmek yoq: biz tek yüzni ögrenemiz.
Üç köşe, eki geometriya
Tegizlikte
Taraflar doğru kesimlerdir. Köşeler: A = 45°, B = 45°, C = 90°.
45° + 45° + 90° = 180°
Küre yüzünde
A — Şimal qutbu; B ve C ekvatorda, boylam farqı 90°. Üç köşeniñ er biri 90°.
90° + 90° + 90° = 270°
270° ile 180° arasındaki farq tegizlik qaidesini kürege doğru köçürip olmağanını köstere. Büyük küreniñ kiçik parçasında farq pek az: onıñ içün kiçik avlunıñ planını deñerge tegiz yapmaq mümkün. Einstein Online egrilik tarifinde bu farqnıñ geometriya ile bağı añlatıla.
Qol · beñzetüvniñ sıñırıİhtiyariy · atlap keçmek mümkün
Sarılğan kâğıt ne içün ayrı bir al?
Bir kâğıtnı sozmay ve buruştırmay açıq silindr borusına sar. Tıştan baqqanda egri. Amma kâğıt boyunca ölçengen kiçik sızılğan üçköşelik uzunlıqlarını ve köşelerini saqlay. Kâğıtnı sozmay qaytadan açmaq mümkün.
Onıñ içki geometriyası yerli olaraq tegiz: Gauss egriligi sıfırdır. Küreniñ içki geometriyası başqadır; tegiz harita onı er yerde bozulmasız qaplap olamay. Cornell yüz geometriyası materialınıñ 2.13–2.14 misalleri tegizlik, küre ve silindrni qıyaslay.
«Yerli olaraq» müim: boru bir yönde qapana, onıñ içün umumiy hususiyetleri soñsuz kâğıttan farqlana. Bu misal içki egrilikni cisimniñ tıştan körünişinden ayıra.
Egrilikni tapmaq içün tışarı çıqmaq şart degil
Küre yüzünde yaşağan hayaliy bir sakin globusqa tıştan baqmay üçköşeliklerniñ taraflarını ve köşelerini ölçey bile edi. Neticelerni tegizlik qaideleri ile qıyaslamaq yeterli. Demek, «egri» demek er zaman «başqa bir tış feza içine egilgen» demek degil.
Küreni resimde köstermek içün üçünci ölçüni qullandıq, amma matematikada onıñ içki geometriyasını onsız tasvirlemek mümkün. Bu ayırmanı AEIniñ geometriya ve geodezik pretsessiya materialı añlata. Üç ölçülü fezanıñ egriligi de başqa feza ölçüsi olğan tış oda farazını talap etmey.
Beñzetüvniñ sıñırı müim: globusnıñ yüzü eki ölçülü, tanış fezamız üç ölçülidir. Şekil bütün Kâinat küre yüzüdir dep iddia etmey. O bir fikir usulını köstere: geometriya onıñ içinde teşkerilgen munasebetler ile belgilene.
Qol · esapİhtiyariy · atlap keçmek mümkün
Küre içün tam ne esapladıq?
Üç köşeniñ toplamı ile 180° arasındaki farqqa küreviy artıqlıq deyik. Bizim üçköşelik içün:
E = (270)^(∘) − (180)^(∘); = (90)^(∘).
Radianlarda bu E = π/2. Kürege sekiz böyle birdey üçköşelik sıya. Radiusı R olğan kürede biriniñ meydanı:
A = (4π(R)^(2))/(8) = (π(R)^(2))/(2).
O vaqıt E/A = 1/(R)^(2). Bu ideal küreniñ Gauss egriligidir; birligi uzunlıq birliginiñ ters kvadratı, meselâ m⁻². R eki qat artsa, egrilik dört qat azala. Bu büyük üçköşelikniñ köşeleri birdey qala, meydanı ise dört qat arta.
Biz berilgen matematik küreniñ hususiyetini esaplaymız. Bu Kâinat egriliginiñ ölçevi degil ve er türlü feza-vaqıt geometriyası içün «köşeni meydanğa böl» qaidesi degil.
Gravitatsiyada geometriyağa vaqıt da kire
Fizikağa qaytayıq. Tüşüv ya da uçuşnı añlatmaq içün cisimniñ qayda olğanını ve ne vaqıt olğanını bilmek kerek. Umumiy nisbiylik nazariyesinde bu vaqialar feza-vaqıtnı teşkil ete. Onıñ geometriyası mesafeler, vaqıt aralıqları ve ışıq yolları nasıl qıyaslanğanını belgiley.
Kütle, energiya, impuls ve basım bu geometriya ile bağlı. Tartu, muqavemet ya da başqa gravitatsiyadan ğayrı quvetler tesir etmegen kiçik serbest cisim feza-vaqıt geodezigi boyunca yüre. Bu, Yer gravitatsiyası lastik çuqurğa tüşürgen top beñzetüvinden daa tam bir fikirdir. Feza lastik madde degil; gravitatsiyanı tasvirlemek içün başqa tış «aşağı» kerek degil. AEIniñ gravitatsiya geometriyası aqqında başlanğıç añlatuvı areketni feza-vaqıt ile bağlay.
Egrilikniñ fizikiy körünişi — gelgit tesirleri: yan yana serbest tüşken cisimler bir-birine yaqınlaşa ya da uzaqlaşa bile. Kiçik serbest tüşken lift ağırlıq duyğusını çıqara, amma keniş bir bölgede böyle farqlarnı yoq etip olamay. Bunı AEIniñ ağırlıqsızlıq ve egrilik aqqında añlatuvı açıqlay.
Feza egriligi ve feza-vaqıt egriligi ayrı añlamlardır. Tek «fezadaki çuqur» resmi bütün gravitatsiya tesirlerini añlatıp olamay. Vakuum da tegizlikni temin etmey: ideal küreviy, aylanmağan yıldıznıñ tışındaki feza-vaqıt, seçilgen yerde madde olmasa da, egri ola bile. Tehnikiy misal — David Tong dersleriniñ §6.1 bölügindeki tış Şvartsşild çezimi.
Geometrik tasvirni közlemler ile teşkermek mümkün
Işıq da feza-vaqıt geometriyasına uyğun yüre. Kütleviy cisim yanında onıñ yolu sapıp, uzaq galaktika yay, bir qaç resim ya da alqa kibi körüne bile. Bu gravitatsion merceklenüvdir. 2025 senesi 10 fevralde ESA Euclidniñ NGC 6505 etrafındaki alqa közlemini neşir etti. Alqanıñ ışığı daa uzaq galaktikadan kelgen; yaqın galaktikanıñ gravitatsiyası onıñ teleskopqa yolunı deñiştirgen.
Bu gravitatsiyanıñ ışıq üzerindeki teşkerilgen tesiriniñ misalidir. Alqanıñ özü bütün Kâinatnıñ geometriyasını belgilemey ve feza şeklimizdeki küre kibi olğanını isbatlamay.
Başlangıç sualge şimdi belli cevap bar: geometriya tegiz geometriyadan farqlana bile ve bunı içinden yapılğan ölçevler köstere bile. Gravitatsiya içün feza ve vaqıtnıñ ortaq tasviri kerek. Aynıñ Yer etrafındaki serbest tüşüviniñ eki tasvirini qıyaslap baq: Nyuton modelinde quvet, nisbiylik modelinde geodezik areket. Olar aynı fizikiy areketni ayrı modeller ile añlata.