У шкільного трикутника сума кутів — 180°. А тепер уяви трикутник, у якого кожен кут прямий. Це можливо, якщо його сторони проходять по сферичній поверхні. Помилки в додаванні немає: змінилася геометрія, до якої ми застосовуємо правило.
Простір описує можливі розташування тіл і просторові відношення між ними. Його кривина означає, що співвідношення виміряних відстаней і кутів відрізняються від евклідової геометрії. У загальній теорії відносності фізичний опис гравітації охоплює спільну геометрію простору й часу. Щоб відчути цю думку, почнемо з поверхні, яку легко уявити.
Координати дають адреси, геометрія — відстані
Щоб указати місце в кімнаті, можна відміряти три числа: від стіни, від іншої стіни та від підлоги. Так ми користуємося трьома просторовими вимірами. Числа залежать від обраного початку й напрямів відліку. Натомість фізичне питання — що покажуть лінійки між предметами — потребує ще й правил вимірювання відстані.
На аркуші в клітинку ці правила знайомі. Дві точки сполучаємо прямим відрізком; у прямокутному трикутнику працює теорема Піфагора. Перемалювавши координатну сітку хвилястими лініями, ми не змінимо довжин справжніх відрізків. Незвична карта сама собою не доводить кривини.
У фізиці геометрію перевіряють вимірюваннями. Математичне поняття простору можна застосувати й до двовимірної поверхні: по ній можна рухатися у двох незалежних напрямах. Словник Einstein Online про простір відрізняє цей ширший зміст від звичного тривимірного простору.
Як побудувати трикутник із трьома прямими кутами
Уявімо ідеально круглий глобус без гір. Від Північного полюса пройдемо меридіаном до екватора. Потім уздовж екватора подолаємо чверть повного кола — 90° за довготою. Іншим меридіаном повернемося на полюс.
Обидва меридіани зустрічають екватор під прямим кутом. На полюсі кут між ними теж 90°. Отже, сума — 270°. Тут вимірюють кути між напрямами на самій поверхні, а не між лініями на плоскій картинці.
Наші сторони — дуги великих кіл, перерізів сфери площинами через її центр. Коротші дуги між обраними вершинами є найкоротшими шляхами по поверхні. Це приклад геодезичних — локально найпряміших можливих ліній заданої геометрії. Йти крізь глобус не дозволено: ми досліджуємо саме його поверхню.
Три вершини, дві геометрії
На площині
Сторони — прямі відрізки. Кути: A = 45°, B = 45°, C = 90°.
45° + 45° + 90° = 180°
На сферичній поверхні
A — Північний полюс; B і C — точки екватора з різницею довгот 90°. Кожен із трьох кутів дорівнює 90°.
90° + 90° + 90° = 270°
Різниця між 270° і 180° показує, що правило для площини не переноситься на сферу. На маленькій ділянці великої сфери відхилення значно менше: тому план невеликого подвір’я можна будувати майже як плоский. Визначення кривини в Einstein Online пояснює, як пов’язати таке відхилення з геометрією.
Відгалуження · межа аналогіїНеобов’язково · можна пропустити
Чому згорнутий аркуш — особливий випадок?
Згорни аркуш у відкриту циліндричну трубку, не розтягуючи й не зминаючи його. Зовні він вигнутий. Але маленький намальований трикутник, виміряний уздовж паперу, зберігає свої довжини й кути. Аркуш можна розгорнути назад без розтягування.
Для внутрішньої геометрії така поверхня локально пласка: її гаусова кривина дорівнює нулю. Сфера має іншу внутрішню геометрію; покрити її плоскою картою всюди без спотворень не вийде. Приклади 2.13–2.14 у матеріалі Cornell про геометрію поверхонь порівнюють площину, сферу й циліндр.
Слово «локально» потрібне: трубка ще й замикається в одному напрямку, тому її глобальні властивості відрізняються від нескінченного аркуша. Цей приклад відділяє внутрішню кривину від вигляду предмета ззовні.
Щоб виявити кривину, не обов’язково виходити назовні
Уявна мешканка сферичної поверхні могла б виміряти сторони й кути трикутників, не бачачи глобуса з боку. Їй достатньо порівняти результати з правилами площини. Отже, «викривлений» не обов’язково означає «прогнутий у якийсь зовнішній простір».
Для зображення сфери ми використали третій вимір, але математично її внутрішню геометрію можна описати без нього. Це розрізнення пояснює матеріал AEI про геометрію та геодезичну прецесію. Так само поняття кривини тривимірного простору не потребує припущення про зовнішню кімнату з додатковим просторовим виміром.
Межа аналогії тут суттєва: поверхня глобуса має два виміри, наш звичний простір — три. Схема не стверджує, що весь Всесвіт є поверхнею кулі. Вона пояснює спосіб мислення: геометрія визначається відношеннями, які можна перевірити всередині неї.
Відгалуження · обчисленняНеобов’язково · можна пропустити
Що саме ми порахували для сфери?
Сферичним надлишком назвемо різницю між сумою трьох кутів і 180°. Для нашого трикутника:
E = (270)^(∘) − (180)^(∘); = (90)^(∘).
У радіанах це E = π/2. Таких однакових трикутників на сфері вісім. Для сфери радіуса R площа одного становить:
A = (4π(R)^(2))/(8) = (π(R)^(2))/(2).
Тоді E/A = 1/(R)^(2). Це гаусова кривина ідеальної сфери; її одиниця — обернений квадрат одиниці довжини, наприклад м⁻². Подвоєння R зменшує її вчетверо. Самі кути цього великого трикутника лишаються тими самими, а його площа зростає вчетверо.
Ми обчислюємо властивість заданої математичної сфери. Це не вимір кривини Всесвіту й не універсальне правило «поділити кут на площу» для довільної геометрії простору-часу.
У гравітації до геометрії входить і час
Тепер повернімося до фізики. Для падіння чи польоту треба описати, де перебуває тіло і коли. У загальній теорії відносності ці події утворюють простір-час. Його геометрія задає, як зіставляються відстані, часові проміжки та шляхи світла.
Маса, енергія, імпульс і тиск пов’язані з цією геометрією. Маленьке вільне тіло, на яке не діють тяга, опір чи інші негравітаційні сили, рухається геодезичною простору-часу. Це точніша ідея, ніж кулька, яку земне тяжіння тягне вниз по гумовій лійці. Простір не є гумовою речовиною, а для опису гравітації не потрібно вводити ще одне зовнішнє «вниз». Елементарне пояснення AEI про геометрію гравітації пов’язує рух із простором-часом.
Фізичний прояв кривини — припливні ефекти: сусідні вільно падаючі тіла можуть зближуватися чи віддалятися одне від одного. Один маленький вільний ліфт прибирає відчуття ваги, але не усуває такі відмінності на всій протяжній ділянці. Це розбирає пояснення AEI про невагомість і кривину.
Кривина простору та кривина простору-часу — різні поняття. Однієї картинки «просторової ями» недостатньо для всіх ефектів гравітації. Також вакуум не гарантує пласкості: простір-час поза ідеалізованою сферичною необертовою зорею може бути викривленим, хоча речовини в обраному місці немає. Технічний приклад — зовнішній розв’язок Шварцшильда в лекціях David Tong, §6.1.
Геометричний опис можна перевіряти спостереженнями
Світло також рухається відповідно до геометрії простору-часу. Біля масивного тіла його шлях може відхилитися так, що далека галактика здаватиметься дугою, кількома зображеннями або кільцем. Це гравітаційне лінзування. 10 лютого 2025 року ESA опублікувала спостереження Euclid: кільце навколо NGC 6505. Світло кільця прийшло від дальшої галактики, а гравітація ближчої змінила його шлях до телескопа.
Це приклад перевірюваної дії гравітації на світло. Саме кільце не визначає геометрії всього Всесвіту й не доводить, що простір буквально є сферою з нашої схеми.
Отже, на початкове питання є конкретна відповідь: геометрія може відрізнятися від пласкої, і це можна виявити зсередини за результатами вимірювань. Для гравітації потрібен спільний опис простору й часу. Спробуй тепер зіставити два описи вільного падіння Місяця навколо Землі: через силу в ньютонівській моделі та через геодезичний рух у релятивістській. Вони працюють із різними моделями того самого фізичного руху.