Як астрономи визначають відстані до зір?

Простягніть перед собою палець і по черзі заплющуйте то ліве, то праве око. Палець начебто перескакує на тлі дальньої стіни, хоча ви його не пересуваєте. Відсуньте його далі — стрибок стане меншим. Змінилася не стіна, а точка, з якої ви дивитеся.

Відстані до багатьох зір визначають за паралаксом — зміною їхнього видимого положення через переміщення спостерігача. Для річного зоряного паралаксу роль двох очей виконують різні положення Землі або космічної обсерваторії на орбіті навколо Сонця. Відома база й виміряний кут дають геометричну оцінку відстані; знати справжню світність зорі для цього не потрібно. ESA: паралакс, Bailer-Jones: геометрична відстань і її оцінювання.

Замість польоту до зорі — відома база

Щоб виміряти відстань до дерева за річкою, геодезист може спостерігати його з двох місць на своєму березі. Відрізок між місцями спостереження називають базою. Два напрямки на дерево утворюють трикутник; знаючи базу й кути, можна знайти його довгі сторони, не переходячи річку.

До зір потрібна набагато більша база. За приблизно пів року Земля переходить на протилежний бік своєї орбіти. У спрощеній круговій моделі ці положення розділяє 2 астрономічні одиниці — близько 300 мільйонів кілометрів. Астрономічна одиниця, або а. о., відповідає приблизному масштабу відстані Земля–Сонце. OpenStax: триангуляція та база земної орбіти.

Далека зоря при цьому змінює видимий напрямок зовсім мало. Що далі вона за незмінної бази, то вужчий трикутник і менший паралакс. Саме це, а не колір чи тьмяність самі по собі, дає нам відстань.

Кут паралаксу — половина найбільшого річного розмаху

Тут легко помилитися вдвічі. Річний паралакс $p$ відповідає базі 1 а. о., а не всьому діаметру орбіти у 2 а. о. В ідеалізованій геометрії максимальний зсув між протилежними положеннями Землі становить $2p$ . Тобто в формулу відстані підставляють половину такого розмаху. OpenStax: визначення кута, рисунок 19.6.

У схемі уявіть нерухому зорю та кругову орбіту. Лінія від Сонця до зорі перпендикулярна вибраному діаметру орбіти. Кут $p$ лежить біля зорі, між напрямком на Сонце й напрямком на одне положення Землі. Він протистоїть відрізку Земля–Сонце завдовжки 1 а. о.

Половина кута відповідає половині бази

A: Земля: перше спостереження
B: Земля: приблизно через пів року

p — кут біля зорі між напрямками на Сонце й на одне положення Землі. Повний кут між двома напрямками на Землю — 2p.

1 а. о. — від Сонця до одного положення Землі; вся база між A і B становить 2 а. о.

За тієї самої бази: менший паралакс — більша відстань

100 mas → 10 pc
50 mas → 20 pc
25 mas → 40 pc

Умовний прямокутний трикутник, не масштабний рисунок і не виміри певної зорі. Кути сильно збільшено, відстань до зорі стиснуто. Кругова орбіта, нерухома зоря, вибраний діаметр перпендикулярний до напрямку Сонце–зоря; показано максимальний сезонний розмах. Текст позначає ту саму геометрію без потреби розрізняти кольори.

Це спеціально проста проєкція. На справжньому небі річна паралактична траєкторія залежить від напрямку на зорю: за кругової орбіти її проєкція може бути еліпсом, колом або відрізком. Довільні два спостереження з інтервалом у пів року не обов’язково дадуть саме максимальний розмах. У вимірюванні використовують відоме положення обсерваторії в кожний момент. Luri та співавтори: модель спостережень, розділ 3.1.

Парсек перетворює кут на зручну відстань

Кутова секунда — це 1/3600 градуса; вона позначається знаком ″. Парсек — одиниця відстані, пов’язана з річним паралаксом в одну кутову секунду; один парсек приблизно дорівнює 3,26 світлового року. Світловий рік теж є відстанню, а не часом спостереження. Для дуже малих зоряних кутів отримуємо просте співвідношення: відстань у парсеках приблизно дорівнює одиниці, поділеній на $p$ у кутових секундах. OpenStax: паралакс і парсек.

Наприклад, ідеальний річний паралакс 0,10″ відповідає 10 парсекам, або приблизно 32,6 світлового року. Паралакс 0,05″ удвічі менший, тому відстань удвічі більша: 20 парсеків. Це навчальні приклади, а не нові виміри конкретних зір.

Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити

Звідки береться одиниця, поділена на кут

У прямокутному трикутнику з нашої схеми $d$ — відстань від Сонця до зорі, а $b=1$ а. о. — коротка сторона. Маємо $\tan p=b/d$ . Кут у цій тригонометричній формулі беруть у відповідному кутовому поданні; для наближення $\tan p\approx p$ він має бути в радіанах. Зоряні кути настільки малі, що це наближення дуже точне.

Після переходу до парсеків і кутових секунд:

d_{\mathrm{pc}}\approx\frac{1}{p_{\mathrm{arcsec}}}.

Тут $d_{\mathrm{pc}}$ і $p_{\mathrm{arcsec}}$ — саме числові значення у вказаних одиницях. Якщо каталог дає мілісекунди дуги, або mas, то 1000 mas = 1″, і зручний запис стає $d_{\mathrm{pc}}\approx1000/p_{\mathrm{mas}}$ . Отже, 100 mas = 0,10″ дає 10 pc. Переплутати mas і кутові секунди означає помилитися у тисячу разів. Bailer-Jones: визначення та геометрія.

Але зоря теж рухається

Дві фотографії ще не відокремлюють усі причини зміщення. Зоря має власний рух — зміну її напрямку на небі через справжній рух відносно Сонячної системи. Паралактична складова пов’язана з річною орбітою спостерігача; власний рух протягом обмеженого інтервалу часто описують плавним майже лінійним трендом. На небі ми бачимо їхню суму. ESA: паралакс і власний рух.

Тому обсерваторія Gaia багаторазово вимірювала напрямки на зорі, а обробка даних одночасно оцінювала положення, паралакс і власний рух. Додаткові ефекти, зокрема орбітальний рух у подвійній системі та систематичні похибки інструмента, теж можуть впливати на результат. Геометричний метод не означає відсутності моделі вимірювання. Luri та співавтори: астрометричні дані й модель джерела.

Маленький паралакс потребує обережної відповіді

За однакової кутової похибки слабший паралактичний сигнал визначається менш упевнено. Якщо паралакс достатньо точний і додатний, його обернене значення може бути корисним наближенням. Коли похибка значна, сліпе ділення вже не дає надійної відстані: перетворення нелінійне, а відстань має залишатися додатною. Астрономи оцінюють розподіл можливих відстаней з урахуванням похибок та обґрунтованих додаткових відомостей. Bailer-Jones, 2015: похибки та задача оцінювання.

Відгалуження · Межі вимірюванняНеобов’язково · можна пропустити

Чому в каталозі буває від’ємний паралакс

Каталожний паралакс — параметр, підігнаний до шумних вимірів напрямку. Якщо сигнал слабкий, найкраща така підгонка може дати нульове або від’ємне значення. Це не від’ємна фізична відстань й не привід автоматично викидати зорю: вимір із його похибкою все ще містить інформацію. Просте обертання від’ємного числа тут застосовувати не можна. Luri та співавтори: розділи 3.1–3.3.

Нелінійність видно навіть на додатних числах. Уявний паралакс 50 mas дає обернене значення 20 pc. Значення 45 і 55 mas дають приблизно 22,2 і 18,2 pc. Відхилення кута на однакові 5 mas перетворюються на нерівні відхилення відстані. Ці дві підстановки лише показують форму перетворення; самі по собі вони не задають статистичного довірчого чи байєсівського інтервалу.

Геометрія дає опору для дальших відстаней

Перевірте себе: в ідеальній схемі найбільший річний розмах становить 0,20″. Чому відстань не дорівнює 5 pc? Бо 0,20″ — це $2p$ . Річний паралакс становить 0,10″, отже відстань близько 10 pc. Тут припускаємо відсутність похибки та вже відокремлений власний рух.

Паралакс дозволяє дістатися до відстані через геометрію, не долітаючи до зорі та не вгадуючи її світність. Водночас ми вимірюємо крихітний кут, а відстань оцінюємо з цього виміру. Саме тому відома база, правильне визначення $p$ , одиниці та похибки однаково важливі.

Ця опора потрібна й для перевірки інших способів вимірювати космічні відстані. Перед наступним кроком можна повторити парсеки та світлові роки або кутові міри на небі.