Ракета може піднятися вище атмосфери й упасти назад. Супутник на схожій висоті облітає Землю з вимкненим двигуном. А міжпланетний апарат може піти ще далі. Відрізняється не лише висота: важливі швидкість, напрям і запас енергії.
Швидкість колової орбіти забезпечує рух навколо Землі на незмінній відстані; швидкість втечі — це мінімальний місцевий поріг для необмеженого віддалення без подальшої тяги в ідеалізованому земному полі. Для кола потрібен дотичний напрям. Для втечі траєкторія також має уникнути зіткнення із Землею. Орбітальна швидкість загалом не є одним числом: на еліптичній орбіті вона змінюється.
Для орбіти треба встигати летіти вбік
Кинутий угору камінь піднімається, сповільнюється й повертається. Якщо ж надати тілу достатню швидкість убік на потрібній висоті, земна поверхня вигинатиметься під його падінням. Воно весь час падає, але оминає планету. Таку ідею ми вже використали, пояснюючи, чому Місяць не падає на Землю.
Тяжіння на орбіті не зникає. Воно повертає напрям швидкості супутника й утримує траєкторію зігнутою. Для кола на певній висоті є відповідна колова швидкість. У спрощеній моделі на висоті 400 км це приблизно 7,67 км/с відносно центра Землі. NASA пояснює поєднання висоти й горизонтальної швидкості, необхідне для орбіти.
Далі ми уявляємо сферичну Землю, нехтуємо атмосферним опором, обертанням планети та тяжінням інших тіл. Двигун уже вимкнений. Це модель руху після розгону, а не повна симуляція запуску.
Втеча — це інший запас енергії
Додамо швидкості до тіла на коловій орбіті, спрямувавши короткий розгін уздовж руху. За помірного приросту воно перейде на еліпс: віддалиться, сповільниться й повернеться ближче. Зі збільшенням початкової енергії найдальша точка відсувається. Нарешті енергії вистачає, щоб у цій моделі вже не повернутися.
Цей граничний випадок визначає швидкість втечі. На висоті 400 км вона приблизно 10,85 км/с. Поблизу умовної поверхні Землі відомий орієнтир — 11,2 км/с. Обидва числа стосуються місцевої швидкості в земній системі відліку, а не роботи двигуна чи відстані, де тяжіння «вимикається». Архівне пояснення NASA про орбіти й енергію показує походження цього порога.
Навіть апарат, що втікає, сповільнюється під земним тяжінням. На самому порозі його швидкість прямує до нуля лише зі зростанням відстані до нескінченності; вище порога лишається ненульова швидкість далеко від Землі. Гравітація продовжує діяти.
Те саме число може дати різні траєкторії
Порівняй перші два випадки: висота й модуль швидкості однакові, а напрям різний. Дотичний рух дає коло; спрямований точно від центра Землі — підйом і повернення тією самою лінією. Самого напису «7,67 км/с» недостатньо, щоб оголосити апарат супутником.
Одна висота, різні швидкості й напрями
Початок: 400 км над сферичною Землею; після стартової точки тяги немає.
7,67 км/с · дотично
ЗемляКолоТяжіння повертає швидкість; відстань до центра лишається сталою.
7,67 км/с · радіально вгору
ЗемляПідйом і поверненняТа сама енергія, але немає руху вбік: тіло повертається до поверхні.
10,85 км/с · дотично
ЗемляГранична втечаПарабола: тіло віддаляється й сповільнюється, не повертаючись.
Поріг енергії для втечі в центральному полі залежить від відстані й модуля швидкості. Напрям визначає форму шляху та небезпеку зіткнення. Тіло з достатньою енергією, але спрямоване в планету, не пролетить крізь неї. Для швидкостей між коловою та швидкістю втечі дотичний старт із нашої висоти дає витягнуту замкнену орбіту, а не автоматичну втечу.
Відгалуження · розрахунокНеобов’язково · можна пропустити
Чому пороги відрізняються в √2 раза?
Позначимо μ = GM: G — гравітаційна стала, M — маса Землі. Відстань від центра r = R + h, де R — радіус планети, h — висота. Для колової орбіти тяжіння забезпечує доцентрове прискорення:
v_(circ) = √((μ)/(r)).
Граничній втечі відповідає достатня кінетична енергія, щоб піднятися нескінченно далеко:
v_(esc) = √((2μ)/(r)) = √(2) v_(circ).
Відношення √2 ≈ 1,414 діє на тій самій відстані у цій моделі. У довідці UNLV наведено обидві формули та їхні ідеалізації.
Візьмемо округлені μ = 398 600 км³/с² і R = 6 371 км за гравітаційним параметром JPL та середнім радіусом JPL. За h = 400 км маємо r = 6 771 км. Звідси v_(circ) ≈ 7,673 км/с і v_(esc) ≈ 10,851 км/с. Одиниці під коренем — км²/с²; після кореня отримуємо км/с.
Чим вище обрана колова орбіта, тим менші обидва місцеві пороги. Це не означає, що дістатися туди безкоштовно: підйом уже потребував енергії. Маса малого апарата у формулах скоротилася; потрібне пальне від його маси й конструкції все одно залежить.
Відгалуження · енергія та тягаНеобов’язково · можна пропустити
Чому 10,85 км/с — не додаткова швидкість запуску?
У цій моделі питома механічна енергія, тобто енергія на одиницю маси:
ε = ((v)^(2))/(2) − (μ)/(r).
Нуль потенціальної енергії обрано на нескінченності. За ε < 0 рух енергетично зв’язаний; за ε = 0 маємо граничну втечу, за ε > 0 — незв’язаний рух, якщо немає зіткнення. Для кола ε = − μ/(2r).
Апарат на коловій орбіті вже має 7,67 км/с. Ідеальний миттєвий дотичний розгін до порога з тієї самої точки додає приблизно 3,18 км/с, а не 10,85: це різниця v_(esc) − v_(circ). Тут не враховані втрати, скінченна тривалість розгону й реальна траєкторія; це не бюджет швидкості від стартового майданчика.
Якщо двигун продовжує працювати, він змінює механічну енергію. Тоді одне число для вільного польоту не описує весь маневр. Електрична тяга, наприклад, може поступово змінювати орбіту протягом тривалого часу; NASA відрізняє її від коротких імпульсів у розділі про траєкторії.
Вимкнений двигун не означає зупинку
Уяви апарат на висоті 400 км, який рухається дотично зі швидкістю 9 км/с. Двигун вимкнений, інших сил, крім земного тяжіння, у нашій моделі немає. Він падає на Землю, летить колом чи втікає?
Жоден із трьох варіантів не точний: він рухається еліпсом. Швидкість більша за колову, але менша за швидкість втечі. Початкова точка буде найближчою до Землі; апарат віддалиться й повернеться до цієї висоти. Без опору й збурень двигун для підтримання такого руху не потрібен — це вільне падіння навколо планети.
Отже, для кола потрібні узгоджені висота, швидкість і напрям. Для втечі без подальшої тяги потрібні достатня енергія й шлях без зіткнення. Вихід з-під земного гравітаційного зв’язку ще не означає втечу від Сонця: міжпланетний апарат зазвичай продовжує рух сонячною орбітою. Розбираючи опис польоту, спершу запитай: відносно якого тіла вказано швидкість і чи працює ще двигун?