Коли спадна модель перевищує поріг: до чи після його перетину? Однаковий знак нерівності дає протилежні напрями часу для зростання й спадання. Потрібні показникова функція, нерівності, логарифми та рівняння.
(2)^(t) ≥ 8 ⟺ t ≥ 3; (1/2)^(t) ≥ 1/8 ⟺ t ≤ 3.
При a>1 функція aˣ зростає: порядок показників зберігається. При 0<a<1 спадає: порядок змінюється. Це не правило множення на від’ємне число — основа додатна, причина в монотонності. Якщо t — час після старту, додаємо t≥0: відповіді [3,∞) та [0,3].
Зростання
2ᵗ≥8
Спадання
2⁻ᵗ≥1/8
Логарифм спочатку вимагає області
logₐx має ту саму монотонність за основою. У наступному прикладі спочатку x−1>0; лише потім порівнюємо аргумент з (1/2)^( − 2) = 4:
(log)_(1/2)(x − 1) > − 2 ⟺ 0 < x − 1 < 4 ⟺ 1 < x < 5.
x=1 заборонено, x=5 дає рівність і не входить у строгу відповідь. OpenStax
«І» означає перетин
(2)^(t) ≥ 4, (1/2)^(t) > 1/16 ⟺ 2 ≤ t < 4.
За t=2 перша умова — рівність і дозволена; за t=4 друга стає рівністю й заборонена. Не об’єднуйте ці часові інтервали.
Заміна та повернення
(4)^(t) − 5 ⋅ (2)^(t) + 4 ≤ 0; u = (2)^(t) > 0; (u − 1)(u − 4) ≤ 0 ⟺ 1 ≤ u ≤ 4 ⟺ 0 ≤ t ≤ 2.
Множники дають інтервал для u, після чого зростання 2ᵗ повертає інтервал для t. Результат завжди перетинаємо з початковою областю моделі; основу 1 і недодатні основи тут не допускаємо.