Для квадратної панелі зі стороною 1 м треба підібрати діагональну планку. Геометрична модель дає довжину √2 м, а калькулятор показує 1,41421356… м. Чи можна просто написати «дорівнює 1,414 м»? Ні: коротший запис уже означає іншу довжину. Щоб розуміти таку різницю, потрібні і числові множини, і домовленість про точність.
Від лічби до частин одиниці
Для кількості панелей достатньо натуральних чисел: 1, 2, 3, … . У цьому курсі позначаємо їх ℕ і починаємо з 1; в інших джерелах до ℕ інколи включають 0. Це домовленість про позначення.
Щоб записати нульовий залишок або борг у цілих одиницях, додаємо 0 та від’ємні числа. Отримуємо цілі числа ℤ: …, −2, −1, 0, 1, 2, … . Для половини метра цілих уже замало.
Раціональним називають число, яке можна записати дробом p/q, де p і q — цілі, а q ≠ 0. Наприклад, 0,5 = 1/2, − 2 = − 2/1, 0 = 0/1. Отже, цілі числа теж раціональні. Ділення на нуль не створює нового числа цієї множини: воно не визначене.
Десятковий запис раціонального числа скінченний або зрештою періодичний: 1/8 = 0,125, а 1/3 = 0,333…. Нескінченність запису сама собою не означає ірраціональності. Означення та класифікація в OpenStax, §1.1.
Довжина, для якої немає дробу
Символ √2 означає невід’ємне число, квадрат якого дорівнює 2. У квадраті зі стороною 1 м саме таке числове значення має діагональ у метрах: сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату діагоналі. Для цього прикладу беремо ідеальний квадрат; похибку реального різання розглядають окремо.
√2 не можна подати як відношення двох цілих. Такі дійсні числа називають ірраціональними; їхній десятковий запис нескінченний і не стає періодичним. Ірраціональними є також π та −√2. Натомість √9 = 3 — раціональне число: сам знак кореня нічого не вирішує.
Раціональні та ірраціональні числа разом утворюють дійсні числа ℝ. Кожному дійсному числу відповідає одна точка числової прямої. Правіше означає більше: −2 < −0,5 < 0 < 1 < √2 < 2. Нуль не є ні додатним, ні від’ємним.
Множина — спосіб об’єднати числа
Множина тут — сукупність об’єктів, а її елемент — один із цих об’єктів. Запис 2\in\mathbb N читаємо «2 належить ℕ». Якщо кожний елемент однієї множини входить до іншої, перша є її підмножиною. Тому \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R: число 2 не втрачає належності до ℕ, коли ми називаємо його раціональним.
Об’єднання збирає елементи обох множин, переріз залишає лише спільні. Для A = {1,2} та B = {2,3} об’єднання містить 1, 2, 3, а переріз — лише 2. Фігурні дужки позначають перелік елементів множини. Множина без елементів — порожня, ∅. Це знадобиться, коли описуватимемо всі розв’язки задачі, зокрема їхню відсутність.
Що саме втрачається під час округлення
Перевіримо дві близькі довжини квадратами:
(1,414)^(2) = 1,999396 < 2 < 2,002225 = (1,415)^(2).
Обидва числа додатні, тому 1,414 < √(2) < 1,415. Запис √2 ≈ 1,414 означає наближення, а √2 = 1,414 був би хибним. Різниця між точним значенням і цим наближенням становить приблизно 0,000214 м, тобто 0,214 мм.
Якщо округлюємо до найближчої тисячної, відстань до обраного числа не перевищує половини кроку: 0,0005 м, або 0,5 мм. Це межа похибки округлення точного числа; вона нічого не гарантує про точність рулетки чи готової панелі. Вибір найближчого представного числа та відмінність від відкидання цифр пояснює NIST DLMF, §3.1(i), Rounding.
Відгалуження · ДоведенняЦе доведення можна пропустити й продовжити читання.
Чому √2 не може бути дробом
Припустімо, що √(2) = p/q, де дріб уже нескоротний, а p,q — додатні цілі. Тоді (p)^(2) = 2(q)^(2), отже, (p)^(2) парне. Квадрат непарного числа непарний, тому p також парне: p = 2k. Підставляємо й отримуємо 4(k)^(2) = 2(q)^(2), тобто (q)^(2) = 2(k)^(2). Тоді й q парне. Обидва числа діляться на 2 — суперечність із нескоротністю. Отже, такого дробу не існує.
Для замовлення планки можна вибрати потрібне наближення, але в математичному розрахунку зберігати √2 до останнього кроку. Поглянь на числа −4, 0, 7/8, √9, √2: перші чотири раціональні, останнє — ірраціональне; усі п’ять лежать на одній дійсній прямій.