Обернена пропорційність: чому подвоєння дає половину

Сталий добуток, графік k/x та асимптоти: час виконання фіксованої роботи й прямокутники однакової площі без плутанини з оберненою функцією.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.6 хв читанняЧастина 21 з 51

Потрібно обробити 120 сторінок. За продуктивності 20 сторінок за годину робота триватиме 6 год, за 40 — 3 год. Чому подвоєння продуктивності ділить час навпіл? Обсяг роботи залишається сталим: добуток продуктивності на час не змінюється.

Потрібні алгебраїчні дроби та функції. Приклад умовний: сталий темп, однакова складність сторінок, немає підготовки, пауз чи перероблення.

Спершу сталий добуток, потім дріб

Нехай $p>0$ — числова продуктивність у сторінках/год, $t>0$ — числовий час у годинах. З $pt=120$ випливає:

t=\frac{120}{p}.

Тут 120 відповідає сторінкам: $(\text{сторінки}/\text{год})\cdot\text{год}=\text{сторінки}$ . Для $p=30$ отримуємо $t=4$ год. Потроєння продуктивності дає третину часу, доки діють ті самі умови.

Загальне правило оберненої пропорційності — $y=k/x$ з ненульовою сталою $k$ . Еквівалентний запис $xy=k$ одразу показує, що зберігається. Це сильніша вимога, ніж просто «одне зростає, інше спадає». Наприклад, $y=10-x$ теж спадає, але добуток $xy$ не сталий. Обернена пропорційність, OpenStax §7.5.

Одна площа, різні форми

У прямокутника площею 12 см² числові довжини сторін у сантиметрах задовольняють $xy=12$ , отже $y=12/x$ . Пара $(2,6)$ , $(3,4)$ чи $(6,2)$ щоразу дає ту саму площу. Подвоївши одну сторону, іншу потрібно зменшити вдвічі.

Одна площа: 12 см²

Додатна вітка y=12/x

Прямокутники намальовані в однаковому умовному масштабі. На графіку — частина додатної вітки, яка продовжується за межі рисунка. Точки (2,6), (3,4), (6,2); обидві осі мають рівномірну шкалу.

Прямокутники — геометрична модель лише додатних довжин. У чистій алгебрі функція $y=12/x$ визначена також для від’ємних $x$ : тоді $y$ теж від’ємний. Повний графік — гіпербола з двома вітками. При $k>0$ вони в I та III координатних чвертях; при $k<0$ — у II та IV.

Чому осі — межі наближення

$x=0$ заборонено через знаменник. При додатному $x$ , дедалі ближчому до нуля, $12/x$ необмежено зростає: для 0,1 це 120, для 0,01 — 1200. При дедалі більшому $x$ значення наближається до нуля: для 120 воно 0,1, для 1200 — 0,01.

Тому прямі $x=0$ та $y=0$ — асимптоти цього графіка: вони описують наближення, а не досяжні нульові значення. За скінченного ненульового $x$ частка $12/x$ ніколи не дорівнює нулю. Це властивість саме цієї функції; загалом інші графіки можуть перетинати горизонтальні асимптоти. Гіпербола й асимптоти, OpenStax §5.6.

«Обернена» має два різні значення

Обернена пропорційність описує сталий добуток. Обернена функція повертає початковий вхід за виходом. Для $f(x)=2x$ зворотне правило — $f^{-1}(y)=y/2$ , а не $1/(2y)$ . Позначення $f^{-1}$ тут не означає дріб $1/f$ .

Модель часу теж не обіцяє нуль годин у реальній роботі. Якщо є фіксована підготовка 1 год, загальний час стане $T=1+120/p$ ; добуток $pT=p+120$ уже не сталий. Перш ніж застосовувати «вдвічі — навпіл», перевірте, що саме зберігається й чи немає доданка, який не масштабується.