Чотирикутники: коли діагоналей достатньо

Дві діагоналі рами однакові. Чи можна вже затягувати кріплення? Ні: рівні діагоналі має також рівнобічна трапеція. Потрібно знати, що ще встановлено про форму.

Прямокутник — паралелограм із прямим кутом. Квадрат одночасно є прямокутником і ромбом. Рівність діагоналей стає ознакою прямокутника лише разом із додатковою умовою, наприклад їхнім взаємним поділом навпіл. Спираємося на паралельні прямі й рівність трикутників.

Родина з успадкуванням властивостей

Тут усі чотирикутники прості, опуклі й невироджені; A,B,C,D записані послідовно вздовж контуру. Діагоналі AC і BD сполучають протилежні вершини. Діагональ розбиває фігуру на два трикутники, тому сума внутрішніх кутів дорівнює 360°.

Паралелограм: обидві пари протилежних сторін паралельні.
Прямокутник: усі кути прямі; це окремий паралелограм.
Ромб: усі сторони рівні; це також паралелограм.
Квадрат: усі сторони рівні й усі кути прямі; він належить обом попереднім класам.
Трапеція: у цьому курсі рівно одна пара протилежних сторін паралельна. Ці сторони — основи, решта — бічні.

За цією домовленістю паралелограм не є трапецією. В інших джерелах можна зустріти «принаймні одна пара»: тоді ієрархія інша, хоча геометрія не змінюється. Англійською тут уживаємо trapezoid; британське trapezium може означати ту саму фігуру. AMSI про ромби й трапеції.

Прямокутна рама

Рівні діагоналі: ще не прямокутник

Перпендикулярні: ще не ромб

Стрілки ведуть від загального класу до окремого виду. Квадрат належить і прямокутникам, і ромбам. Трапеції мають рівно одну пару паралельних сторін. На окремих схемах рама має сторони 80 і 60; трапеція — рівні діагоналі без прямокутності; дельтоїд — перпендикулярні діагоналі без взаємного поділу навпіл. Кожна фігура має рівномірний власний масштаб; між панелями масштаби різні.

Чому паралелограм зручний

У ньому протилежні сторони й кути рівні, сусідні кути в сумі дають 180°, а діагоналі точкою перетину O діляться навпіл:

$AO=OC,\qquad BO=OD.$

Одна діагональ утворює два рівні трикутники: кути при паралельних сторонах рівні, діагональ спільна. Звідси випливають рівності сторін. Далі рівність відповідних трикутників біля O дає половини діагоналей. Це наслідки паралельності, а не особливість красиво намальованого рисунка.

Щоб розпізнати паралелограм серед опуклих чотирикутників, достатньо будь-якої однієї умови:

Обидві пари протилежних сторін рівні.
Одна й та сама пара протилежних сторін і рівна, і паралельна.
Діагоналі взаємно діляться навпіл.
Обидві пари протилежних кутів рівні.

У другій умові не можна взяти рівність однієї пари, а паралельність іншої. Ознаки та докази AMSI.

Що додає кожна спеціальна форма

Прямокутник. Рівні та діляться навпіл. Для відомого паралелограма достатньо: Один прямий кут або рівні діагоналі.
Ромб. Перпендикулярні та діляться навпіл; кожна ділить кути при своїх кінцях навпіл. Для відомого паралелограма достатньо: Дві сусідні сторони рівні або діагоналі перпендикулярні.
Квадрат. Рівні, перпендикулярні та діляться навпіл. Для відомого паралелограма достатньо: Одночасно перевірки прямокутника й ромба.

Чому рівні діагоналі працюють у паралелограмі? У трикутниках ABC і BAD сторона AB спільна, BC=AD та AC=BD. За SSS кути ABC і BAD рівні. Водночас вони сусідні кути паралелограма й дають 180°, тому кожен дорівнює 90°.

Чому перпендикулярність працює для ромба? Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, прямокутні трикутники AOB та AOD рівні за двома катетами: AO спільний, BO=OD. Тому AB=AD, а з рівності протилежних сторін отримуємо всі чотири рівні сторони.

Рама: достатня перевірка та межа вимірювання

Припустімо, у плоскій чотириланковій рамі обидві пари протилежних сторін мають довжини 80 см і 60 см відповідно. Це вже дає паралелограм. Тепер рівність двох діагоналей доводить прямокутність. Також можна перевірити один прямий кут. Числове значення діагоналі тут не потрібне.

Якщо довжини сторін не встановлено, альтернативний набір — обидві діагоналі діляться навпіл і рівні. Самих рівних діагоналей недостатньо: контрприклад на схемі — рівнобічна трапеція. Самих перпендикулярних теж недостатньо для ромба: у показаного дельтоїда діагоналі не діляться взаємно навпіл.

Фізичні виміри мають похибку. Теорема дає точний критерій ідеальної плоскої форми; допустиме відхилення реального виробу треба задавати окремо.

Трапеція — окрема гілка

При основах AB∥CD кути біля кожної бічної сторони в сумі дають 180°: ∠A+∠D=180° і ∠B+∠C=180°. У рівнобічної трапеції бічні сторони рівні; кути при кожній основі рівні й діагоналі рівні. Обернені ознаки також працюють для трапеції з рівно однією парою паралельних сторін: рівні діагоналі або рівні кути при одній основі дають рівні бічні сторони.

У прямокутної трапеції одна бічна сторона перпендикулярна основам: тому прямими є два її кути. Перевірки кіл навколо та всередині чотирикутника розібрано в G008; повторювати їх як нові ознаки тут не потрібно.