Степені та науковий запис великих і малих чисел

Один файл займає 2 500 000 байтів, інший — 2 500 000 000. Наскільки другий більший? Короткий запис $2{,}5\cdot10^6$ і $2{,}5\cdot10^9$ показує однаковий початок і різницю трьох десяткових множників. Відношення дорівнює $10^{9-6}=10^3=1000$ . Розберімося, чому з показниками можна так діяти.

Після уроку про літери у формулах позначення $a$ й $n$ вже знайомі. Тут $a$ буде основою степеня, а $n$ — його цілим показником.

Показник рахує однакові множники

$2^4$ означає $2\cdot2\cdot2\cdot2=16$ , а не $2\cdot4$ . Для натурального $n>1$ степінь $a^n$ — добуток $n$ однакових множників $a$ ; $a^1=a$ .

Якщо основу взято в дужки, знак теж належить їй: $(-2)^2=4$ . У записі $-2^2$ спочатку обчислюють степінь, потім змінюють знак, тому результат −4. Дужки змінюють зміст, як і в звичайних виразах.

Коли множимо степені однієї основи, множники просто з’єднуються: $a^3\cdot a^2=a^5$ . Коли ділимо, однакові ненульові множники скорочуються: $a^5/a^2=a^3$ за $a\ne0$ .

Навіщо потрібні нульовий і від’ємний показники

Послідовність $10^3,10^2,10^1$ — це 1000, 100, 10. Кожний крок зі зменшенням показника на 1 ділить число на 10. Продовження дає $10^0=1$ , $10^{-1}=0{,}1$ , $10^{-2}=0{,}01$ .

Для ненульової основи так само узгоджуємо правила:

a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}\quad(n=1,2,3,\ldots).

Нульовий показник відповідає $a^n/a^n=1$ ; від’ємний — оберненому числу. Він не означає від’ємного результату: $2^{-3}=1/8$ , а $(-2)^{-3}=-1/8$ . За нульової основи $0^n=0$ для додатного цілого $n$ , але $0^0$ та від’ємних степенів нуля тут не визначаємо. Правила й умови в OpenStax, §1.2.

Закони з умовами

Для ненульових дійсних $a,b$ та цілих $m,n$ маємо:

Дія	Правило
Множення однієї основи	$a^m a^n=a^{m+n}$
Ділення однієї основи	$a^m/a^n=a^{m-n}$
Степінь степеня	$(a^m)^n=a^{mn}$
Степінь добутку	$(ab)^n=a^n b^n$
Степінь частки	$(a/b)^n=a^n/b^n$

Для додатних показників частину правил можна застосовувати й до нуля; спільна умова ненульових основ дозволяє безпечно охопити всі цілі показники. До суми правило додавання показників не належить: $2^3+2^3=16$ , а $2^{3+3}=64$ .

Довжина в метрах (m)

Це шкала множників, а не лінійка: кожний рівний крок праворуч збільшує довжину в 10 разів. Від 0,001 m до 1 m — три кроки, тобто множення на 1000.

Науковий запис відокремлює масштаб

Ненульове число записують у нормалізованому науковому вигляді $c\cdot10^k$ , де $k$ — ціле, а $1\le|c|<10$ . Тут $|c|$ — відстань числа $c$ від нуля. Для додатного числа це означає коефіцієнт від 1 включно до 10 невключно. Наприклад, $2500000=2{,}5\cdot10^6$ , а $0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$ . Запис $25\cdot10^5$ має те саме значення, але ще не нормалізований. Нуль пишемо просто як 0.

У цьому курсі називатимемо $k$ порядком у нормалізованому десятковому записі. Це дає швидку оцінку масштабу, але для точного відношення важливі й коефіцієнти. Наприклад, $9\cdot10^6$ та $1\cdot10^7$ мають сусідні порядки, хоча відрізняються лише в $10/9\approx1{,}11$ раза.

Для двох початкових файлів коефіцієнти однакові, тому вони скоротилися. У десяткових одиницях це 2,5 MB та 2,5 GB: NIST явно визначає 1 MB = 10⁶ B, 1 GB = 10⁹ B, де B — байт. Спочатку узгоджуємо одиниці, тоді порівнюємо показники.

Відгалуження · ОдиниціТехнічна деталь; правила десяткових степенів зрозумілі й без неї.

GB і GiB — різні кількості байтів

За таблицею NIST, 1 GiB = 2³⁰ B = 1 073 741 824 B, тоді як 1 GB = 1 000 000 000 B. Це різні одиниці, а не різні округлення того самого числа. Назви й символи двійкових префіксів розроблено саме для такого розрізнення. У конкретному інтерфейсі треба перевірити, що означає показаний підпис; тут ми не припускаємо поведінки жодної програми.

Відгалуження · ТочністьДодатково про запис результатів вимірювання.

Коротший запис не створює точнішого вимірювання

У записі результату вимірювання $2{,}50\cdot10^6$ зазвичай повідомляють три значущі цифри: 2, 5 і кінцевий 0. Запис $2{,}5\cdot10^6$ передає дві. OpenStax Chemistry, §1.5 пояснює, як значущі цифри пов’язані з точністю повідомленого результату.

Як точні математичні числа ці два вирази рівні. Доданий нуль сам по собі не покращує прилад і не доводить меншої похибки. Для наших файлів кількість байтів задана як точне ціле, тому сам вибір короткого запису не означає невизначеності вимірювання.

Коли бачиш довге число, спочатку збережи його одиницю, потім відділи коефіцієнт від степеня десяти. Показник описує масштаб, коефіцієнт уточнює значення, а знак наближення показує, чи ти щось округлив.