На пласкому плані є три мітки. Потрібна точка, що лежить на однаковій відстані від кожної. «Візуальна середина» не гарантує цього. Краще перетворити вимогу про відстані на лінії, перетин яких дає точну відповідь.
Геометричне місце точок — усі точки заданої області, які задовольняють певну умову. Центр кола через три вершини трикутника знаходимо серединними перпендикулярами, а центр кола, дотичного до трьох сторін, — внутрішніми бісектрисами. Потрібні три особливі відрізки та означення кола. Тут усі точки лежать в одній евклідовій площині.
Треба перевірити обидва напрями
Щоб назвати певну лінію геометричним місцем точок, доводимо дві речі: кожна її точка виконує умову, а кожна точка з цією умовою належить лінії. Інакше можна загубити частину розв’язків або додати зайві.
Наприклад, усі точки на відстані R>0 від O — коло. Внутрішність круга сюди не належить: там відстань менша за R.
Рівні відстані до двох міток
Нехай A і B різні, M — середина AB. Пряма через M, перпендикулярна до AB, — серединний перпендикуляр. Він є геометричним місцем точок P, для яких:
PA = PB.
Якщо P на цій прямій і P≠M, прямокутні трикутники PMA та PMB рівні за двома катетами: PM спільний, MA=MB. Тому PA=PB. Для самої M рівність випливає з означення середини.
У зворотний бік, якщо PA=PB та P не лежить на AB, трикутник PAB рівнобедрений. Його медіана PM є висотою, отже P на потрібному перпендикулярі. Якщо P лежить на AB, відстані зрівнюються лише в M. Так ми не пропустили й не додали точок. Побудова й доведення AMSI.
PA = PB: серединний перпендикуляр
PH = PK: внутрішня бісектриса
O та I — різні центри
Рівні відстані до сторін кута
Для точок усередині ненульового кута, меншого за 180°, рівність відстаней до прямих його сторін задає внутрішню бісектрису. Відстань — довжина перпендикуляра, не довільної похилої.
На схемі OP ділить кут навпіл, а PH й PK — рівні перпендикуляри. Рівні гострі кути та спільна гіпотенуза OP дають рівність відповідних прямокутних трикутників. Навпаки, рівні перпендикуляри й спільна гіпотенуза дають рівність кутів при O. Обмеження внутрішньою областю важливе: на всій площині виникають також інші гілки бісектрис. Евклід IV.4, пояснення.
Коло через три мітки: описане
Для трикутника ABC проводимо серединні перпендикуляри до AB і BC. Вони не паралельні: інакше самі AB та BC, перпендикулярні до паралельних прямих, теж були б паралельними й не утворили б трикутника.
Нехай O — їхній єдиний перетин. Тоді OA=OB і OB=OC, звідки:
OA = OB = OC = R.
Коло із центром O та радіусом R проходить через всі три вершини — це описане коло. Інший центр неможливий: він також мусив би лежати на тих самих двох перпендикулярах. Евклід IV.5.
У гострокутному трикутнику O всередині; у прямокутному — посередині гіпотенузи; у тупокутному — зовні. Три різні точки на одній прямій не задають такого кола: пряма має з колом щонайбільше дві спільні точки.
Коло між трьома сторонами: вписане
Дві внутрішні бісектриси трикутника перетинаються всередині в I. Половини кутів A і B позитивні, а їхня сума менша за 90°, тож відповідні промені не паралельні. Їхній перетин належить обом внутрішнім кутам — отже, лежить у трикутнику. За властивістю бісектриси I рівновіддалений від AB і AC, а також від AB і BC, тобто від усіх трьох прямих сторін.
Спільну перпендикулярну відстань назвімо r. Коло із центром I й радіусом r лежить у трикутнику та торкається всіх його сторін — це вписане коло. Рівність відстаней до AC і BC також поміщає I на третю внутрішню бісектрису. Інший внутрішній центр мусив би бути тим самим перетином бісектрис, тому коло єдине. Евклід IV.4.
I завжди всередині й загалом не збігається з O. Рівновіддаленість від трьох вершин і рівновіддаленість від трьох сторін — різні задачі. Для трьох міток потрібен O; для круглого контуру між трьома краями — I.