Hay tres marcas en un plano. Necesitamos un punto a la misma distancia de las tres. El «centro a ojo» no lo garantiza. Conviene transformar las condiciones de distancia en rectas cuya intersección dé una respuesta exacta.
Un lugar geométrico reúne todos los puntos de una región dada que cumplen una condición. Las mediatrices localizan el centro de la circunferencia por los vértices de un triángulo; las bisectrices interiores, el de la circunferencia tangente a sus lados. Se necesitan los tres segmentos especiales y la definición de circunferencia. Trabajamos en un mismo plano euclídeo.
Hay que comprobar ambos sentidos
Para afirmar que una recta es un lugar geométrico demostramos dos cosas: todos sus puntos cumplen la condición, y todo punto que la cumple pertenece a la recta. De otro modo podríamos perder soluciones o añadir puntos.
Por ejemplo, los puntos a distancia R>0 de O forman una circunferencia. El interior del círculo queda fuera: sus distancias son menores que R.
Distancias iguales a dos marcas
Sean A y B distintos y M el punto medio de AB. La recta por M perpendicular a AB es la mediatriz, el lugar de los puntos P tales que:
PA = PB.
Si P pertenece a ella y P≠M, los triángulos rectángulos PMA y PMB tienen catetos iguales: PM común y MA=MB. Por tanto PA=PB. Para M la igualdad procede de la definición de punto medio.
Recíprocamente, si PA=PB y P no está en AB, PAB es isósceles. Su mediana PM es altura, así que P pertenece a la perpendicular buscada. Si P está en AB, las distancias solo son iguales en M. No perdimos ni añadimos puntos. Construcción y demostración de AMSI.
PA = PB: mediatriz
PH = PK: bisectriz interior
O e I son centros distintos
Distancias iguales a los lados de un ángulo
Para puntos dentro de un ángulo no nulo menor que 180°, las distancias iguales a las rectas de sus lados determinan la bisectriz interior. La distancia es la longitud de una perpendicular, no de cualquier segmento oblicuo.
En el esquema OP biseca el ángulo, y PH,PK son perpendiculares iguales. Ángulos agudos iguales e hipotenusa OP común hacen congruentes los triángulos rectángulos. Recíprocamente, catetos perpendiculares iguales e hipotenusa común dan ángulos iguales en O. Restringir la región importa: en todo el plano aparecen otras ramas de las rectas bisectrices. Comentario a Euclides IV.4.
Una circunferencia por tres marcas: la circunscrita
En ABC trazamos las mediatrices de AB y BC. No son paralelas: de serlo, AB y BC, perpendiculares a rectas paralelas, serían también paralelas y no formarían un triángulo.
Sea O su única intersección. Entonces OA=OB y OB=OC, por lo que:
OA = OB = OC = R.
La circunferencia de centro O y radio R pasa por los tres vértices: es la circunscrita. Otro centro es imposible porque debería estar en la misma intersección. Euclides IV.5.
En un triángulo acutángulo O queda dentro; en uno rectángulo, en el punto medio de la hipotenusa; en uno obtusángulo, fuera. Ninguna circunferencia pasa por tres puntos distintos colineales: una recta tiene como máximo dos puntos comunes con ella.
Una circunferencia entre tres lados: la inscrita
Dos bisectrices interiores se cortan dentro del triángulo en I. Las mitades de A y B son positivas y suman menos de 90°, así que sus semirrectas no son paralelas. Su intersección pertenece a ambos ángulos interiores y queda en el triángulo.
Por la propiedad de la bisectriz, I equidista de AB y AC, y de AB y BC: por tanto, de las tres rectas de los lados.
Llamemos r a la distancia perpendicular común. La circunferencia de centro I y radio r queda dentro y toca todos los lados: es la inscrita. Las distancias iguales a AC y BC también sitúan I en la tercera bisectriz interior. Otro centro interior debería ser la misma intersección de bisectrices, así que la circunferencia es única. Euclides IV.4.
I siempre queda dentro y en general no coincide con O. Equidistar de tres vértices y equidistar de tres lados son tareas distintas. Para tres marcas buscamos O; para un contorno circular entre tres bordes, I.