Un recipiente de fondo redondeado no es solo un cilindro. ¿Qué área recubrimos y cuánto líquido cabe? Construyamos un modelo ideal y comprobemos qué cambia si las medidas solo se conocen dentro de intervalos.
Definir qué contamos
Requisitos: sumar áreas, círculo y sector, alturas y distancias, volúmenes y área esférica.
El recipiente abierto une un cilindro de radio r=4 cm y altura h=7 cm con una semibola inferior del mismo radio. Altura total: 11 cm. Por ahora ignoramos el grosor de la pared, usando iguales r y h para capacidad y una superficie curva.
Los interiores no se solapan, por tanto:
V = π(r)^(2)h + (2)/(3)π(r)^(3) = (464π)/(3) (cm)^(3).
Son unos 485,90 cm³ o 0,48590 L. Recubrir un lado de la pared curva requiere S=2πrh+2πr²=88π≈276,46 cm². No hay disco superior; el círculo de unión queda dentro y no añade área expuesta. Una pared gruesa necesita medidas interiores y exteriores separadas; recubrir ambos lados exige ambas superficies.
Recipiente: boca abierta y unión interna
Cotas supuestas y valores nominales
Aparte: cilindros cerrados, V=128π cm³
Sumar o restar depende del objeto. Perforar un agujero cilíndrico resta volumen al bloque, pero su pared añade área superficial. La descripción de la frontera determina la fórmula.
Las cotas de medidas dan cotas del resultado
Supongamos 3,9≤r≤4,1 cm y 6,8≤h≤7,2 cm. Son cotas elegidas aquí, no especificaciones de un instrumento ni normas industriales. Ambas fórmulas crecen con r y h positivos: los dos extremos inferiores dan mínimos y los superiores máximos.
El volumen va aproximadamente de 449,166 a 524,581 cm³. Para no estrechar las cotas del modelo redondeamos hacia fuera: 449,16≤V≤524,59 cm³. Para el área, 262,19≤S≤291,10 cm². Los 485,90 cm³ nominales son una sustitución central, no la capacidad garantizada de cada recipiente.
Son cotas deterministas bajo los supuestos dados. Llamarlas «intervalo de confianza del 95%» exige un modelo probabilístico. Se excluyen error de forma, grosor e incertidumbre de las propias cotas.
El margen es una decisión aparte
Si elegimos un margen del 8% para el ejercicio, multiplicamos el área nominal por 1,08: unos 298,58 cm². Para añadirlo sobre la cota superior del modelo usamos 291,10×1,08=314,388 cm². Son acuerdos distintos; el 8% no es una norma técnica recomendada. El corte, las uniones y el coste añaden condiciones.
Optimizar una clase definida
Ahora otro problema: cilindro cerrado con dos bases, V=128π cm³ fijo. Para valores numéricos r,h en centímetros, h=128/r² y S/π=256/r+2r². Radios 2,4,8 dan alturas 32,8,2 y áreas 136π,96π,160π cm². Entre los tres gana r=4, pero tres casos no demuestran un mínimo global.
Rama · Con fórmulasOpcional · se puede omitir
Un mínimo sin derivadas
Para todo valor numérico r>0:
(S)/(2π) − 48 = (r)^(2) + (128)/(r) − 48 = ((r − 4)^(2)(r + 8))/(r) ≥ 0.
Solo hay igualdad en r=4: h=8, S=96π cm². El producto derecho es no negativo y demuestra el mínimo para todos los radios positivos. h=2r concuerda con el problema general del cilindro cerrado.
Este óptimo corresponde al cilindro cerrado, no a nuestro recipiente abierto con semibola. La geometría responde después de definir forma, superficies, restricciones y objetivo.
Fuentes y límites
Suma de volúmenes y fórmulas: Merzliak y coautores, 2019, apartados22–23. University of Waterloo, CEMC: cilindro cerrado óptimo; la factorización para 128π es propia. Glosario NIST: la confianza requiere supuestos de distribución. Recipiente, intervalos y margen del 8% son ejemplos elegidos, no tolerancias reales de fabricación.