Al transformar una ecuación obtenemos a menudo candidatos, no la respuesta definitiva. Un número puede anular un denominador original o tener un signo incorrecto después de elevar al cuadrado. Comprobar nos devuelve a la pregunta inicial.
Usaremos fracciones algebraicas, raíces, sistemas y ecuaciones cuadráticas. Trabajamos en los reales.
Un tiempo desconocido en el denominador
Una bomba llena un tanque en 6 horas. Junto con otra, tarda 2 horas. Suponemos caudales constantes e independientes, sin fugas e inicio simultáneo. Sea x > 0 el tiempo en horas de la segunda bomba sola. Sus caudales dan:
(1)/(6) + (1)/(x) = (1)/(2).
Es una ecuación racional con la incógnita en un denominador. El dominio original exige x ≠ 0; la condición física, x > 0. Multiplicamos por 6x, no nulo en ese dominio: x + 6 = 3x, luego x = 3 horas. La prueba 1/6 + 1/3 = 1/2 confirma el caudal, y el tiempo positivo confirma el sentido de la respuesta.
Simplificar puede ocultar que no hay solución
Consideremos ((x)^(2) − 1)/(x − 1) = 2. Primero, x ≠ 1. Tras cancelar queda x + 1 = 2, pero se mantiene x ≠ 1. El único candidato, 1, está excluido, por lo que la ecuación original no tiene soluciones. Sustituir produciría 0/0, no 2. Ecuaciones racionales, OpenStax §2.2.
El cuadrado borra un signo necesario
Una ecuación irracional o radical contiene aquí una variable bajo una raíz. En √(x + 2) = x, el dominio del radical es x ≥ − 2. Pero el lado izquierdo es no negativo, así que la igualdad exige además x ≥ 0.
Elevar al cuadrado da x + 2 = (x)^(2), o (x − 2)(x + 1) = 0. Si resolvemos esta cuadrática sin la condición de signo, obtenemos 2 y −1. Para 2, el original da √(4) = 2; para −1, √(1) = 1 ≠ − 1. Solo queda x = 2.
Ecuación original
y = √(x + 2); y = x
Después de elevar al cuadrado
y = x + 2; y = x²
| Candidato x | Prueba √(x+2)=x | Decisión |
|---|---|---|
| −1 | 1 ≠ −1 | Descartar |
| 2 | 2 = 2 | Conservar |
El número −1 pertenece al dominio del radical, pero no resuelve la ecuación. Es un candidato extraño después del cuadrado, no una entrada prohibida para el radicando. Si conservamos x ≥ 0 desde el inicio, el paso a x + 2 = (x)^(2) es equivalente bajo esa condición; el candidato extra se descarta antes de sustituir. Ecuaciones radicales y soluciones extrañas, OpenStax §2.6.
La sustitución tiene un rango y un regreso
En x + √(x) − 6 = 0, el dominio es x ≥ 0. Ponemos t = √(x), luego t ≥ 0 y x = (t)^(2). Resulta (t)^(2) + t − 6 = 0, o (t − 2)(t + 3) = 0. t = − 3 no puede ser una raíz principal; queda t = 2, x = 4. Prueba: 4 + 2 − 6 = 0.
Tomar ambos t y elevarlos simplemente al cuadrado añadiría erróneamente x = 9. En el original daría 9 + 3 − 6 = 6, no cero. La condición de la nueva variable es tan obligatoria como la de la inicial.
Sistemas no lineales: el gráfico responde su propia pregunta
La segunda imagen puede leerse como el sistema independiente y = (x)^(2), y = x + 2. Es no lineal porque una ecuación contiene una variable al cuadrado. Sustituyendo y = x + 2 en la primera obtenemos (x)^(2) = x + 2, de donde x = − 1 o 2. Recuperar y da ( − 1,1) y (2,4). Ambas parejas satisfacen este sistema.
Aquí −1 no es extraño: el sistema sí tiene dos intersecciones. Pero describe una igualdad de cuadrados; el original √(x + 2) = x también exigía x no negativo. La comprobación gráfica ayuda si indicamos exactamente qué ecuación o sistema dibujamos. Sustituir en ambas condiciones confirma las coordenadas exactas. Sistemas no lineales, OpenStax §11.3.
Rama · Respuesta completaRelación con las transformaciones equivalentes.
Comprobar no recupera una solución perdida
Dividir x(x − 1) = 0 entre x deja solo 1. La sustitución lo confirma, pero no encuentra el 0 omitido. Primero conservamos todos los casos y restricciones; después comprobamos para rechazar candidatos extra. Verificar candidatos y demostrar que no falta ninguno son dos partes necesarias de resolver.
Una lista de números se convierte en respuesta al volver a los denominadores, signos y relaciones originales. Una pregunta controla cada paso: ¿podemos volver del nuevo registro al antiguo en el dominio indicado?