Dos cuadernos y un bolígrafo cuestan 110 grivnas; un cuaderno y dos bolígrafos, 100. ¿Cuál es cada precio? El cuaderno cuesta 40 grivnas y el bolígrafo 30. La pareja debe satisfacer ambos recibos a la vez: cumplir solo uno no basta.
Desde una ecuación y los modelos de problemas pasamos a dos condiciones relacionadas. Sea x el precio del cuaderno e y el del bolígrafo en grivnas. Los precios son iguales en ambas compras, sin recargos ni descuentos. El modelo usa precios reales, sin redondear a kopeks.
La solución es una pareja
Obtenemos un sistema de ecuaciones, condiciones que deben cumplirse juntas:
{2x + y = 110,; x + 2y = 100.
La pareja (x,y) = (40,30) da 80 + 30 = 110 y 40 + 60 = 100. Importa el orden: (30,40) da 100 en el primer recibo y no sirve.
La primera ecuación admite muchas parejas: (40,30), (30,50), (50,10). La forma ax + by = c, con a,b no ambos nulos, es una ecuación lineal de dos variables. Una segunda relación independiente puede seleccionar una pareja.
Ver lo común en el gráfico
Representamos x en horizontal e y en vertical. El punto (40,30) registra ambos precios. Las parejas del primer recibo forman la recta y = 110 − 2x; el segundo da y = (100 − x)/2. Su intersección pertenece a ambas rectas y satisface ambos recibos.
Una solución
x + 2y = 100
Ninguna
4x + 2y = 240
Infinitas
4x + 2y = 220
El dibujo orienta, pero las coordenadas leídas en pantalla pueden ser aproximadas. El álgebra y la sustitución establecen la exactitud. Sistemas y métodos, OpenStax §11.1.
Sustituir deja una incógnita
De la primera ecuación, y = 110 − 2x. Sustituimos toda esta expresión por y en la segunda:
x + 2(110 − 2x) = 100.
Al desarrollar queda − 3x = − 120, luego x = 40. Volvemos a la primera: y = 110 − 80 = 30. Hay que volver: x por sí sola todavía no es una pareja solución.
La reducción elimina una variable
Podemos duplicar la primera ecuación: 4x + 2y = 220. Restamos la segunda, x + 2y = 100, y obtenemos 3x = 120. De nuevo x = 40, y = 30.
Conservamos una ecuación original junto con la nueva. No podemos sustituir todo el sistema por la diferencia: 3x = 120 no dice nada sobre y. Con una condición original conservada, el paso se puede invertir y mantiene las soluciones comunes.
Dos recibos pueden repetir la misma condición
Si el segundo es 4x + 2y = 220, solo duplica el primero. Las rectas coinciden y hay infinitas parejas descritas por y = 110 − 2x. Los precios no negativos exigen 0 ≤ x ≤ 55, todavía infinitas posibilidades en este modelo de números reales.
Si el segundo dice 4x + 2y = 240, contradice al primero: duplicar la compra debería costar 220. Al restar resulta 0 = 20; las rectas son paralelas y no hay solución común. Con precios fijos, los datos son incompatibles; no se trata de un precio todavía sin descubrir.
Rama · Un caso límiteAclaración de la condición sobre coeficientes.
Cuando la ecuación no representa una recta
0x + 0y = 0 admite todas las parejas: todo el plano. 0x + 0y = 5 no admite ninguna. Por eso exigimos al menos un coeficiente variable no nulo para afirmar que el gráfico es una recta.
Un sistema busca una respuesta común a todas las condiciones. Sustitución y reducción la hallan con exactitud; el gráfico explica que sea única, inexistente o ambigua. Comprobamos la pareja final en cada ecuación original.