Sabes cuánto te has alejado de un poste y con qué ángulo ves su parte superior. Pitágoras aún no basta: solo conocemos una longitud. La trigonometría añade la relación con el ángulo.
Para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, el seno es cateto opuesto dividido por hipotenusa; el coseno, cateto adyacente dividido por hipotenusa; la tangente, cateto opuesto dividido por cateto adyacente. Dependen del ángulo, no del tamaño del triángulo. La razón es la semejanza por AA; Pitágoras ayuda a comprobar longitudes.
Elegir el ángulo, nombrar los lados
Sean α el ángulo agudo elegido, a su cateto opuesto, b el adyacente y c la hipotenusa. Para 0°<α<90°:
sinα = (a)/(c), cosα = (b)/(c), tanα = (a)/(b).
La hipotenusa siempre está frente al ángulo recto. Llega al vértice α, pero no es el cateto adyacente. Al elegir el otro ángulo agudo, a y b intercambian sus papeles; la hipotenusa permanece igual. En el dibujo sinα=3/5, cosα=4/5 y tanα=3/4. AMSI: definiciones y elección de lados.
Lados respecto de α
El ángulo se mide desde la horizontal
0,6 / 3 = 20%, no 20°
Las tres razones son adimensionales: metros divididos por metros. Para un ángulo agudo, 0<sinα<1, 0<cosα<1 y tanα>0. Duplicar todos los lados no cambia ninguna razón.
Los datos deciden la fórmula
No hace falta recordar todas las fórmulas a la vez: marca el lado conocido y el buscado.
- Cateto opuesto e hipotenusa → seno: a=c sinα o c=a/sinα.
- Cateto adyacente e hipotenusa → coseno: b=c cosα o c=b/cosα.
- Ambos catetos → tangente: a=b tanα o b=a/tanα.
Si conocemos ambos catetos, α=arctan(a/b). En una calculadora, tan⁻¹ suele indicar esta función inversa, no 1/tanα. Usa DEG para datos en grados. El otro ángulo agudo mide 90°−α.
Podemos obtener algunos valores exactos para comprobar:
- 30°: sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=1/√3.
- 45°: seno y coseno valen √2/2; tangente, 1.
- 60°: seno vale √3/2, coseno 1/2, tangente √3.
Los valores de 30° y 60° salen de medio triángulo equilátero; el de 45°, de un triángulo rectángulo isósceles.
Dividir a²+b²=c² entre c² también da sin²α+cos²α=1; de las razones sale tanα=sinα/cosα. Son comprobaciones de coherencia, no sustituyen la elección correcta de lados.
Altura: incluye el nivel del instrumento
El instrumento está a e=1,6 m del suelo. La distancia horizontal a un poste vertical es d=12 m; la visual forma un ángulo de elevación α=35° desde la horizontal. Si el suelo junto al instrumento y la base del poste está al mismo nivel:
H = e + dtanα = 1,6 + 12tan(35°) ≈ 10,0 m.
La tangente da cuánto supera la cima al instrumento: añadimos e. Una base más baja o alta requiere corregir el desnivel. 10,0 es el resultado redondeado de un modelo ideal, no una promesa de precisión en campo.
La distancia inclinada L a lo largo de la visual es otra magnitud. Si la conociéramos, el desnivel sería L sinα y la proyección horizontal L cosα. No sustituyas d por L en la fórmula de la tangente.
Una pendiente del 20% no son 20°
En una subida rectilínea, la altura h, el recorrido horizontal d y la longitud inclinada L forman un triángulo rectángulo. La pendiente porcentual es:
i = (h)/(d) ⋅ 100% = tanα ⋅ 100%.
Subir 0,6 m en 3 m horizontales da 20%. El ángulo es arctan(0,2)≈11,31° y la longitud inclinada √(3²+0,6²)≈3,06 m. El denominador es 3 m, no 3,06 m. A 45° la pendiente es 100%; no tiene un límite natural de 100 como parte de un todo. Esri: tres formas de expresar la pendiente.
Aquí bastan ángulos agudos y triángulos rectángulos. El círculo completo, los signos y la periodicidad pertenecen a la trigonometría del curso de álgebra.