Tres líneas del dibujo casi coinciden en un punto. ¿Es imprecisión o una propiedad exacta? Esta lección adicional revisa cuatro cuestiones distintas: concurrencia, colinealidad, longitudes en una circunferencia y centros. No es requisito del recorrido principal.
Requisitos: medianas y alturas, cuadriláteros cíclicos, semejanza, áreas.
Ceva: tres cevianas concurren
En un triángulo ABC no degenerado, D,E,F están estrictamente dentro de BC,CA,AB. Las rectas AD,BE,CF concurren si y solo si:
(BD)/(DC) ⋅ (CE)/(EA) ⋅ (AF)/(FB) = 1.
Son razones de longitudes positivas. BD/DC=2 y CE/EA=2 exigen AF/FB=1/4, no 1/2. Para A(0;0), B(9;0), C(0;6), elegimos D(3;4), E(0;2), F(9/5;0). Las tres rectas pasan por P(9/7;12/7).
¿Por qué un producto? Si P es común, BD/DC equivale a la razón de áreas PAB/PCA, CE/EA a PBC/PAB, AF/FB a PCA/PBC, usando alturas iguales en los triángulos correspondientes. Al multiplicar se simplifica todo a 1. Recíprocamente, intersectamos las dos primeras cevianas: la razón requerida determina un único F interior sobre AB, obligando a la tercera a pasar por P.
Ceva: puntos interiores y producto +1
Menelao: prolongación, producto −1
Ptolomeo: rectángulo cíclico 8×6
Euler: O, G, H sobre y=2
Menelao: tres puntos están alineados
Ahora D,E,F pueden estar en las rectas BC,CA,AB, excluidos los vértices. El segmento orientado [UV] es la diferencia V−U de coordenadas sobre su recta, orientada B→C, C→A, A→B. Invertir extremos invierte el signo. La división interna da razón positiva; la externa, negativa.
Criterio de Menelao: D,E,F son colineales si y solo si ([BD]/[DC])·([CE]/[EA])·([AF]/[FB])=−1. Conservemos D(3;4), E(0;2), pero tomemos F(−3;0). La recta DE tiene ecuación y=2x/3+2 y contiene F. El producto es 2·2·(−1/4)=−1.
Las longitudes sin signo darían +1; el signo conserva la información de la prolongación. No mezcle convenciones. Hemos restringido Ceva a puntos interiores: en su versión orientada general, producto +1 también permite tres cevianas paralelas, sin intersección común finita.
Ptolomeo: diagonales y lados opuestos
Para un cuadrilátero convexo e inscrito con vértices distintos A,B,C,D nombrados en orden circular:
AC ⋅ BD = AB ⋅ CD + BC ⋅ DA.
Nuestro rectángulo 8×6 tiene diagonales 10: 10·10=8·8+6·6, de acuerdo con Pitágoras. Un rectángulo es cíclico; un cuadrilátero cualquiera puede no serlo. Mantenga la condición circular y el orden de letras. La igualdad verifica longitudes, no concurrencia.
Recta de Euler: tres centros
En un triángulo no equilátero, circuncentro O, baricentro G y ortocentro H están alineados, con OG:GH=1:2. En el equilátero coinciden y no determinan una recta única. El incentro generalmente no pertenece a esta lista.
Para A(0;0), B(8;0), C(2;6) obtenemos O(4;2), G(10/3;2), H(2;2). Están en y=2; OG=2/3, GH=4/3. Las coordenadas verifican el ejemplo; el teorema general requiere demostración.
Rama · Con fórmulasOpcional · requisito: vectores G021
Una prueba vectorial breve
Tomamos O como origen. Los vectores de vértices a,b,c tienen igual longitud R. Para h=a+b+c, (h−a)·(b−c)=(b+c)·(b−c)=|b|²−|c|²=0. El punto está en la altura desde A y, análogamente, en las demás: es H. El vector del baricentro g=(a+b+c)/3 da h=3g: G está entre O y H y divide OH en razón 1:2. Excluimos el equilátero para distancias no nulas. Aquí h representa un vector de posición, no altura.
Identifique qué necesita probar y compruebe las condiciones. Un dibujo casi correcto no sustituye una igualdad ni demuestra concurrencia.
Fuentes y límites
Merzliak y Yakir, Geometría de grado8, secciones adicionales, pp.impresas116–119,126–127,199–200; páginas PDF exactas en research. Tratamientos independientes: Wayne Bishop §4.3 para Ceva/Menelao; University of St Andrews para Ptolomeo; AMSI para Euler. Ejemplos, dibujos y comprobaciones propios; la rama vectorial usa G021.