Hay 20 metros de valla para los cuatro lados de un rectángulo. ¿Qué forma da más área? La derivada encuentra candidatos, pero las dimensiones permitidas y los extremos también deciden. Usamos signos, parábolas y reglas de derivación.
Si un lado mide x metros, el otro mide 10−x. Incluimos los rectángulos degenerados como casos límite matemáticos:
A(x) = x(10 − x), 0 ≤ x ≤ 10; A(x) = 25 − (x − 5)^(2).
El área no supera 25 m²; un cuadrado de lado 5 m alcanza la igualdad. Recuperemos el resultado mediante el cambio de área.
Crecer se convierte en decrecer
A′(x) = 10 − 2x; A′(5) = 0; A(0) = A(10) = 0, A(5) = 25.
En (0,5) la derivada positiva indica crecimiento; en (5,10) es negativa y el área decrece. El cambio + a − demuestra un máximo local. Derivada positiva en todo un intervalo basta para crecer; una función creciente puede tener ceros aislados de su derivada, como x³.
Área y extremos
A=x(10−x); A(5)=25; A(3)=21
Signo de derivada
A′=10−2x
Los puntos críticos son puntos interiores del dominio donde la derivada vale cero o no existe. Una función continua en un intervalo cerrado acotado alcanza máximo y mínimo: comparamos valores críticos y extremos. Un extremo local compara vecinos; uno global compara todo el conjunto permitido. Definiciones y condiciones.
Segunda derivada y una restricción nueva
A′′(x) = − 2; (max)_(0 ≤ x ≤ 3)A(x) = A(3) = 21.
La segunda derivada mide cómo cambia la pendiente: f″>0, aumenta, forma ∪; f″<0, disminuye, forma ∩. Aquí −2 confirma un máximo estacionario. f″=0 por sí solo no concluye nada: x⁴ no cambia de concavidad en cero. Forma de la gráfica.
Si el terreno exige x≤3, 5 no está permitido. En [0,3] el área crece y el máximo está en el extremo: 21 m² con lados 3 y 7 m. La derivada allí vale 4, no cero. La restricción cambia el problema; optimizar un modelo no garantiza comodidad práctica. OpenStax
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Teoremas, pendiente media y desigualdad de Jensen
Fermat: en un extremo local interior donde la función es derivable, su derivada es cero. El recíproco falla: x³ tiene derivada nula en cero sin máximo ni mínimo.
Rolle: si f es continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a)=f(b), existe un c interior con f′(c)=0. Los extremos 0 y 10 de A tienen área 0; la tangente horizontal está en 5. Con las dos primeras condiciones, Lagrange garantiza una tangente interior con pendiente de secante:
A′(2) = 6 = (A(4) − A(0))/(4 − 0).
En [0,4] la pendiente media 6 aparece en c=2. Rolle y valor medio.
Para forma convexa ∪, cuya gráfica nunca queda sobre sus cuerdas en el intervalo, Jensen afirma:
f(λa + (1 − λ)b) ≤ λf(a) + (1 − λ)f(b), 0 ≤ λ ≤ 1.
a,b pertenecen al intervalo. Para ∩ se invierte la desigualdad. En A, el promedio de áreas en x=3 y 7 es 21; el área en el promedio x=5 es 25. El punto medio da al menos tanto gracias a la forma ∩. MIT, Convex functions, diapositivas 3–2 y 3–12.
Fija primero el conjunto factible, busca candidatos y signos y compara valores reales. El cuadrado de 5×5 m es óptimo solo mientras todas las restricciones lo permitan.