Un carro hipotético tiene posición s(t)=t²: t es el número de segundos y s de metros, 0≤t≤3. Entre 2 y 3 segundos pasa de 4 a 9 metros: velocidad media de 5 m/s. ¿Y exactamente a los 2 segundos? Reducimos el intervalo y buscamos el límite de velocidades medias: la derivada. Requisitos: pendiente y límites.

Nunca dividimos entre cero

Sea h el incremento temporal. Para h=0,1 la velocidad media es 4,1 m/s; para h=0,01, 4,01 m/s. Por la izquierda h=−0,1 da 3,9 m/s. Ambos lados se acercan a 4:

(s(2 + h) − s(2))/(h) = ((2 + h)^(2) − 4)/(h) = 4 + h (h ≠ 0).

Solo se cancela si h≠0. Cero indica hacia dónde tiende h, no un denominador permitido. Definición general:

f′(a) = (lim⁡)_(h→0)(f(a + h) − f(a))/(h).

f′(a) es la derivada de f en a. Si existe este límite bilateral finito, f es derivable allí. Los valores forman la función derivada f′. En el modelo s′(2)=4 m/s; sus unidades son las de salida divididas entre las de entrada. OpenStax

Secantes hacia la tangente

s=t²; — m=4; -- m=5; ·· m=4.5

0123049t, ss, m
Modelo s=t², segundos y metros. Parábola naranja; tangente continua de pendiente 4; secante discontinua por t=3 de pendiente 5, punteada por t=2,5 de 4,5. Escalas uniformes; ventana 0≤s≤10.

La secante pasa por dos puntos y su pendiente mide el cambio medio. Cuando el segundo se acerca al primero, las pendientes 5 y 4,5 se acercan a 4. La recta con esa pendiente límite es la tangente. Describe la dirección local; no exige tener un solo punto común con toda la gráfica.

Ecuación de la tangente

En (a,f(a)) usamos sus coordenadas y la pendiente f′(a):

y = f(a) + f′(a)(x − a); s_(tan)(t) = 4 + 4(t − 2) = 4t − 4.

En t=2 la tangente tiene valor 4 y pendiente 4. Lejos de allí no sustituye a la parábola. La velocidad instantánea es exacta dentro del modelo hipotético; una estimación con datos medidos conserva errores de medición incluso en intervalos cortos.

Cuando falla la definición

Para f(x)=|x| en cero el cociente vale −1 por la izquierda y 1 por la derecha. Hay continuidad, pero no una derivada única. Derivabilidad implica continuidad; el recíproco es falso. Relación y excepciones.

Los 4 m/s a los 2 segundos proceden del cambio en intervalos cada vez más cortos. Comprueba dominio, unidades y existencia de un límite finito común antes de usar una derivada.