Ves dos puntos desde la orilla, pero no puedes recorrer la distancia entre ellos con una cinta. Sí puedes medir una base accesible AB y las direcciones a ambos objetivos desde sus extremos. Hay dos pasos: recuperar las distancias a los objetivos y unirlos mediante un tercer triángulo.
La ley de senos relaciona cada lado con su ángulo opuesto. La de cosenos obtiene el tercer lado mediante dos lados y su ángulo comprendido. Ambas funcionan para cualquier triángulo no degenerado, incluso obtusángulo. Usamos ángulos en la circunferencia, Pitágoras y trigonometría de triángulos rectángulos.
Seno y coseno de un ángulo obtuso
Para ángulos de 0° a 180° tomamos un punto de la semicircunferencia unidad: su coordenada horizontal es cosα y la vertical sinα. Para un ángulo agudo coinciden con las razones de lados. Para uno obtuso el punto queda a la izquierda del centro: seno positivo, coseno negativo. Por ejemplo, sin120°=√3/2 y cos120°=−1/2. A 90° el seno es 1 y el coseno 0.
La lección de álgebra sobre la circunferencia unidad desarrolla las coordenadas del ángulo. Aquí bastan la semicircunferencia y sin(180°−α)=sinα, cos(180°−α)=−cosα. AMSI.
Dos leyes con una correspondencia fija
En ABC definimos a=BC, b=CA y c=AB. Así, a está frente a A, b frente a B y c frente a C. Los ángulos están estrictamente entre 0° y 180° y suman 180°.
Ley de senos:
(a)/(sinA) = (b)/(sinB) = (c)/(sinC) = 2R,
donde R es el circunradio. ¿Por qué el diámetro 2R? Una misma cuerda subtiende un ángulo inscrito agudo en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es un diámetro. Para el obtuso tomamos el suplementario hasta 180°: el seno no cambia. Cada lado dividido por el seno del ángulo opuesto da, pues, el mismo diámetro. Para 90°, el lado opuesto ya es un diámetro y sin90°=1.
Ley de cosenos:
(c)^(2) = (a)^(2) + (b)^(2) − 2abcosC.
C está entre a y b. Cambiar las letras da las otras formas. Para C=90° desaparece la corrección y queda Pitágoras; con C obtuso el coseno es negativo, así que restar la corrección aumenta c².
La idea de la deducción: la proyección con signo de b sobre la recta CB es b cosC y la altura b sinC. La distancia a B al cuadrado es (a−b cosC)²+(b sinC)². Desarrollar y usar sin²C+cos²C=1 da la fórmula. Si la proyección es negativa o supera B, tomamos el valor absoluto de la longitud horizontal; su cuadrado no cambia. AMSI: leyes y demostraciones.
Semicircunferencia: cos120° < 0
1 · Direcciones a C: 60° y 60°
2 · Direcciones a D: 30° y 90°
3 · ACD da la distancia CD
LLA: dos intersecciones, dos triángulos
Elegir el primer paso
- Un lado y dos ángulos: hallar el tercero y usar senos.
- Dos lados y el ángulo comprendido, LAL: cosenos da el tercer lado.
- Tres lados, LLL: hallar un ángulo con cosC=(a²+b²−c²)/(2ab), comprobando antes las desigualdades del triángulo.
- Dos lados y un ángulo opuesto a uno, LLA: comprobar todos los ángulos posibles; puede haber ambigüedad.
Los ángulos solos no dan longitudes: fijan la forma, no la escala.
Una base y dos puntos inaccesibles
En el modelo plano AB=40 m. Los objetivos C y D están al mismo lado de la base. Medimos cuatro ángulos interiores:
- Para C: ∠CAB=60°, ∠CBA=60°.
- Para D: ∠DAB=30°, ∠DBA=90°.
En ABC el tercer ángulo es 60°: AC=40·sin60°/sin60°=40 m. En ABD el tercero es 60°: AD=40·sin90°/sin60°=80/√3 m.
Ambas direcciones desde A se miden hacia el mismo lado de la semirrecta AB, por lo que ∠CAD=60°−30°=30°. Ahora conocemos dos lados y el ángulo comprendido en el tercer triángulo ACD:
(CD)^(2) = (40)^(2) + (((80)/(√(3))))^(2) − 2 ⋅ 40 ⋅ (80)/(√(3))cos(30°) = (1600)/(3).
Así, CD=40/√3≈23,09 m. Redondeamos al final. Solo AB era recorrible; calculamos AC,AD y CD. Suponemos suelo plano y direcciones exactas; los errores reales de base y ángulos no están incluidos en el resultado ideal.
LLA: la calculadora puede ocultar otro triángulo
Sean A=30°, a=7 y b=10. Por senos, sinB=b sinA/a=5/7. La calculadora da B≈45,58°, pero 180°−B≈134,42° tiene el mismo seno. Con A=30°, ambos dejan un tercer ángulo positivo: existen dos triángulos distintos.
El dibujo fija AC=10 y la semirrecta AB a 30° de AC. Una circunferencia de centro C y radio 7 corta la semirrecta en B₁ y B₂. Una ecuación cuadrática también da las longitudes posibles de AB: c=5√3±2√6, aproximadamente 3,76 o 13,56.
No todos los datos LLA producen dos soluciones. Si el seno calculado supera 1, no existe triángulo; comprobamos cada ángulo posible con A+B<180°. AMSI: caso ambiguo.