Una tapa circular se convierte en elipse en un dibujo y un panel rectangular parece un paralelogramo. ¿Es un error? No: un dibujo puede representar correctamente la disposición espacial sin conservar longitudes ni ángulos. Veamos qué permite deducir una proyección y cómo recuperar el área de un panel inclinado a partir de su vista superior.
Proyección: una regla para cada punto
Requisitos: área de polígonos, rectas y planos, ángulos espaciales.
En la proyección paralela elegimos un plano de imagen y una dirección no paralela a él. Por cada punto del objeto trazamos una recta en esa dirección; su intersección con el plano es la imagen del punto. Las rectas proyectantes son paralelas. Si son perpendiculares al plano, la proyección es ortogonal; en otro caso es paralela oblicua.
La sombra solar sobre una superficie plana se parece aproximadamente a una proyección paralela, pero su dirección no suele ser perpendicular a la superficie. La sombra de una lámpara cercana ni siquiera es paralela: los rayos divergen. La analogía no permite aplicar fórmulas ortogonales a cualquier sombra.
Qué se conserva y qué se deforma
En la proyección paralela, los puntos de una recta siguen alineados, salvo si la recta sigue la dirección proyectante: entonces toda ella se reduce a un punto. Las imágenes no degeneradas de rectas paralelas son paralelas o coincidentes. El punto medio de un segmento pasa al punto medio de su imagen; se conservan las razones de longitudes de segmentos colineales o paralelos si sus imágenes tienen longitud no nula.
Por eso podemos dibujar correctamente una mediana uniendo un vértice con el punto medio de la imagen del lado opuesto. Pero no podemos construir a ojo una altura o bisectriz como perpendicular o mitad del ángulo dibujado: en general cambian ángulos y longitudes. Un cuadrado puede volverse paralelogramo y segmentos iguales de direcciones distintas pueden volverse desiguales.
Mismo panel: vista superior ortogonal
Proyección paralela oblicua
Circunferencia → elipse con φ=60°
En la proyección ortogonal sobre un plano, un segmento de longitud L que forma un ángulo θ con él tiene imagen de longitud L cos θ. Si es paralelo al plano, θ=0° y conserva longitud; una perpendicular con θ=90° se reduce a un punto. No es una fórmula para cualquier proyección oblicua.
Área de un panel inclinado
Definamos un panel rectangular de 4×3 m: el lado de 4 m es horizontal y el otro está inclinado 60° respecto a la horizontal. Desde arriba, el primero sigue midiendo 4 m y el segundo pasa a 3 cos 60°=1,5 m. El área del panel es 12 m² y la de su proyección 6 m².
En general, para un polígono plano:
S_(proj) = S ∣cosφ∣.
Aquí φ es el ángulo entre el plano de la figura y el de la proyección ortogonal. Si tomamos el menor ángulo, 0°≤φ≤90°, sobra el valor absoluto, pero también permite usar el ángulo entre normales elegidas. Una superficie irregular no tiene un único φ así; no multiplicamos toda su área por un solo coseno.
¿Por qué un coseno y no su cuadrado? La escala a lo largo de la intersección de los planos es 1; en la dirección perpendicular es |cos φ|. En un triángulo conservamos la base y reducimos la altura por ese factor; un polígono se divide en triángulos. Si φ=90°, la proyección está en una recta y su área es 0. El cálculo inverso S=Sproj/|cos φ| solo se permite con coseno no nulo.
Por qué un círculo se convierte en elipse
Una circunferencia de radio r en un plano inclinado φ tiene una proyección ortogonal no degenerada con semiejes r y r|cos φ|. Una dirección no se acorta y la otra se multiplica por el coseno. Con φ=0° vuelve a ser circunferencia; con φ=90° es un segmento, no una elipse de área positiva. Radio 2 cm y φ=60° dan semiejes de 2 y 1 cm. No basta un único «radio de la elipse».
Detalle opcionalLas fórmulas principales anteriores corresponden a proyecciones paralelas y ortogonales.
Rama · Perspectiva de la cámara
En la proyección central las rectas pasan por un centro O. Para una cámara ideal centrada en el origen y una pantalla virtual z=f>0, los triángulos semejantes dan x′=fx/z, y′=fy/z para puntos delante de la cámara, z>0. Aquí x,y son coordenadas transversales, z es profundidad y f la distancia a la pantalla. Las coordenadas espaciales completas son el tema de G029; aquí importa la división por la profundidad.
Una misma longitud a profundidad 4 se ve la mitad de grande que a profundidad 2. Las rectas paralelas cuya dirección no es paralela a la pantalla pueden converger en un punto de fuga. Las paralelas a la pantalla siguen siendo paralelas. En general no se conservan puntos medios ni razones sobre una recta que se aleja en profundidad. Por eso una fotografía sin geometría conocida ni calibración no sustituye al dibujo técnico. Es un modelo geométrico ideal sin distorsión de lente.
Al leer un dibujo pregunte: ¿qué proyección usa, qué propiedades conserva y dónde es real la escala? Así se distingue una representación válida de una medición injustificada de píxeles.
Fuentes y límites
Base escolar: Ister, geometría del curso 10, §§6 y 12. Además, un capítulo didáctico de autor de GMU, p.28 explica la proyección ortogonal y el único coseno del área; Scratchapixel, modelo pinhole camera explica el centro común de proyección. Los ejemplos del panel y la circunferencia son propios; no son mediciones de luz solar ni especificaciones de una cámara.