La sección circular de una bola depende de lo cerca que pase el plano del centro. ¿Podemos hallar su radio sin medir la sección? En nuestro modelo de radio 13 cm y plano a 5 cm del centro, responde un triángulo 5–12–13. Primero distinguimos superficie y sólido.
Superficie esférica y bola rellena
Requisitos: circunferencia y círculo, Pitágoras, normal a un plano, coordenadas espaciales.
La superficie esférica de centro C y radio R>0 contiene los puntos a distancia exactamente R de C. La bola cerrada incluye los puntos a distancia no mayor que R, junto con la frontera. El centro pertenece a la bola, no a la superficie. Es la extensión espacial de la diferencia entre circunferencia y círculo relleno.
Girar un semicírculo relleno alrededor de su diámetro crea la bola; girar el arco semicircular crea la superficie esférica. Una carcasa hueca real tiene grosor y material entre dos superficies; la superficie matemática no tiene grosor. Un diámetro pasa por el centro, une dos puntos de la superficie y mide 2R.
De dónde sale la circunferencia de sección
Sea α un plano a distancia d de C, y H el pie perpendicular de C sobre α. Para cualquier X del plano, CH⊥HX y (CX)²=d²+(HX)². X pertenece a la superficie precisamente cuando CX=R; por tanto:
(HX)^(2) = (R)^(2) − (d)^(2).
Si d<R, los puntos forman una circunferencia de centro H y radio ρ=√(R²−d²). Demostramos ambos sentidos: todo punto común está en ella y todo punto de ella está a distancia R de C. Para la bola, CX≤R da el círculo relleno con esa frontera.
Circunferencia en esfera: R=13, d=5, ρ=12
Sección CHX: dos catetos y radio
Intersección, tangencia y sin corte
En nuestro ejemplo R=13 cm y d=5 cm; así ρ=√(169−25)=12 cm. La longitud de la circunferencia es 2πρ=24π cm; el área del círculo relleno, πρ²=144π≈452,39 cm². Es el área de la sección plana, no la de toda la superficie esférica ni la de una zona curva.
Si d=0, H=C y ρ=R: un plano por el centro produce una circunferencia máxima de la superficie y un círculo máximo de la bola. Tiene el mayor radio posible entre las secciones circulares planas. Al aumentar d disminuye ρ; una foto en perspectiva no basta para medir esta relación.
Plano tangente: un único punto común
La fórmula da enseguida los otros casos. Si d>R, el segundo miembro es negativo y no hay intersección. Si d=R, HX=0 deja solo H. Es un plano tangente a la superficie esférica, y H es el punto de tangencia.
El plano tangente es perpendicular al radio en ese punto. Recíprocamente, un plano por T de la superficie perpendicular a CT solo la encuentra en T. Para otro punto X del plano, (CX)²=(CT)²+(TX)²>R². Así, por cada punto de la superficie pasa un plano tangente, determinado por T y la normal CT.
La tangencia no consiste solo en tocar el contorno dibujado en pantalla. El criterio espacial es estar a distancia R del centro o ser perpendicular al radio correspondiente.
Las coordenadas comprueban la construcción
Para nuestro centro C(1;−2;3), R=13, la ecuación es:
(x − 1)^(2) + (y + 2)^(2) + (z − 3)^(2) = 169.
El plano z=8 está a |8−3|=5 del centro. Sustituir da (x−1)²+(y+2)²=144, junto con z=8: circunferencia de centro H(1;−2;8). Sin la restricción sobre z, la ecuación en x e y describiría una superficie cilíndrica infinita.
El plano z=16 está a distancia 13 de C y es tangente en T(1;−2;16). El plano z=19 está a distancia 16 y no corta la esfera. Sustituir = por ≤ da la bola, no otra superficie esférica. Un sistema de coordenadas comprueba así definiciones y los tres casos.
Las áreas curvas y los volúmenes necesitan otras fórmulas, que veremos en G034. Aquí basta identificar circunferencia, círculo relleno, superficie o sólido antes de calcular.
Fuentes y límites
Superficie esférica y bola, tres casos y perpendicularidad tangente: Merzliak y coautores, 2019, apartado 21, pp.133–135. Además, OpenStax, Calculus Volume3, §2.2 define la superficie por equidistancia, deduce su ecuación y explica por qué omitir la restricción de z produce un cilindro. El modelo 13/5/12, coordenadas y demostración pitagórica son propios.