Una misma parcela puede verse como dos triángulos o como un rectángulo entre dos cuñas. Con las mismas medidas y sin solapamientos, ambos cálculos deben coincidir. Esto resulta más útil que adivinar una fórmula por la silueta.
El área se suma al dividir una figura sin solapamientos; trasladar o girar una pieza conserva su área. Por eso muchas fórmulas proceden del rectángulo y del triángulo. Usamos los cuadriláteros, la trigonometría y las leyes de senos y cosenos.
La unidad es un cuadrado, no un segmento
Un metro cuadrado es el área de un cuadrado de 1×1 m. Para un rectángulo de lados a,b, S=ab. Con longitudes enteras contamos cuadrados unidad; con racionales subdividimos la cuadrícula. La fórmula también vale para longitudes irracionales, aunque una cuadrícula finita no demuestra por sí sola esa extensión.
Como 1 m=100 cm, 1 m²=10 000 cm²: el factor 100 se aplica dos veces. El perímetro tiene unidades de longitud. Los rectángulos 4×3 y 6×2 comparten área 12, pero sus perímetros son 14 y 16.
Dos figuras de igual área no tienen por qué ser congruentes como figuras completas. Son equidescomponibles si pueden cortarse en un número finito de piezas congruentes por parejas y recomponerse una en otra. Esa recomposición explica la igualdad de áreas. AMSI, descomposición.
Del rectángulo al paralelogramo y al triángulo
Cortamos el triángulo de una esquina del paralelogramo dibujado y lo trasladamos al otro extremo. Se obtiene un rectángulo con la misma base a y altura h, luego S=ah. El lado inclinado no sustituye a h: necesitamos la distancia perpendicular entre las rectas de las bases.
Dos copias congruentes de cualquier triángulo forman un paralelogramo con la misma base y altura. Por tanto, el triángulo ocupa la mitad:
S_(△) = (ah)/(2).
La altura puede caer fuera del triángulo. La fórmula se mantiene: sigue siendo la distancia del vértice a la recta de la base.
Cortar y trasladar
Trapecio: 12 + 6 = 18
El mismo trapecio: 3 + 12 + 3
Herón y altura: 7–8–9
Un trapecio, dos descomposiciones
Una diagonal divide el trapecio en dos triángulos. Sus bases son los lados paralelos a,b y comparten altura h. Así:
S = (ah)/(2) + (bh)/(2) = (a + b)/(2)h.
Nuestro ejemplo tiene bases de 8 m y 4 m y altura de 3 m. La diagonal da 12+6=18 m². La división vertical da un rectángulo de 4×3 y dos triángulos rectángulos de catetos 2 y 3: 12+3+3=18 m². Es una misma área, no una coincidencia entre fórmulas.
Para un polígono simple general buscamos una triangulación sin superponer interiores. Si hay un hueco, restamos su área una sola vez. Una trampa es escoger bases distintas para dos piezas y asignarles la misma altura numérica sin justificarlo.
El rombo: altura o diagonales
El rombo es un paralelogramo, por lo que S=ah. Sus diagonales perpendiculares d₁,d₂ se cortan en sus puntos medios y forman cuatro triángulos rectángulos. Sumando sus áreas:
S_(rombo) = (d_(1)d_(2))/(2).
Omitir la mitad duplica el resultado. La perpendicularidad es esencial: no trasladamos esta fórmula a las diagonales de otro cuadrilátero sin comprobarla.
Dos lados y el ángulo comprendido
En un triángulo, los lados a,b encierran el ángulo C. La altura respecto de a es b sinC, de modo que:
S = (1)/(2)absinC.
Vale para 0°<C<180°, incluidos los ángulos obtusos: el seno es positivo. Multiplicar todas las longitudes por k multiplica el área por k² y el perímetro por k.
De igual modo, los cuatro triángulos alrededor del cruce de las diagonales de un cuadrilátero convexo dan S=d₁d₂sinφ/2, donde φ es el ángulo entre diagonales. En el rombo φ=90° y recuperamos la mitad de su producto.
Para un polígono regular de n lados sumamos n triángulos centrales congruentes. Con perímetro P y apotema r, S=Pr/2. Es el mismo principio, no una fórmula aislada.
Tres lados: fórmula de Herón
Primero comprobamos las desigualdades triangulares: cada longitud positiva a,b,c debe ser menor que la suma de las otras dos. Sea p=(a+b+c)/2 el semiperímetro. Entonces:
S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).
Para lados de 7,8,9 m, p=12 m y S=√(12·5·4·3)=12√5≈26,83 m². Otra comprobación usa base 9 m y altura 8√5/3 m: 9·(8√5/3)/2=12√5 m². El producto de cuatro longitudes bajo la raíz tiene unidades m⁴; tras extraerla quedan m². OpenStax, fórmula de Herón.
Otros datos conocidosOpcional · puedes omitirlo
Si conocemos el radio de una circunferencia del triángulo
Unir el incentro a los vértices divide el triángulo en tres partes de altura r, el inradio. Así S=(a+b+c)r/2=pr. Para el circunradio R, la ley de senos da sinC=c/(2R), luego S=abc/(4R). Los dos centros suelen ser distintos, como explica G009.
Nuestro triángulo 7–8–9 tiene área 12√5, por lo que r=S/p=√5 y R=abc/(4S)=10,5/√5. Cada fórmula describe la misma área con datos conocidos diferentes.
Detalle de la deducciónOpcional · puedes omitirlo
Herón a partir de los cosenos
De S=ab sinC/2 y cosC=(a²+b²−c²)/(2ab) obtenemos:
16(S)^(2) = 4(a)^(2)(b)^(2) − ((a)^(2) + (b)^(2) − (c)^(2))^(2).
La diferencia de cuadrados se factoriza como (a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c), equivalente a 16p(p−a)(p−b)(p−c). Dividimos entre 16 y tomamos la raíz positiva. Deducción trigonométrica, University of Georgia.