Elegimos dos colegas entre A,B,C,D. ¿Por qué hay 6 equipos, pero 12 asignaciones de coordinación y presentación? Las mismas personas dan resultados distintos si importan funciones u orden. Define el resultado antes de elegir fórmula. Usamos potencias e identidades.
Sumar o multiplicar
Al elegir una de dos alternativas disjuntas — uno de 3 formatos en papel o 2 electrónicos — hay 3+2=5 opciones. Una intersección contaría resultados comunes dos veces.
En decisiones por etapas con igual número de continuaciones tras cada primera elección, multiplicamos: 3 formatos × 2 idiomas =6 paquetes. Si las continuaciones dependen de la rama, contamos cada rama y sumamos. Esta regla de conteo no presupone independencia probabilística.
Funciones: 12 pares ordenados
Equipos: 6 pares sin orden
El orden crea más resultados
El factorial n! es 1·2·…·n; 0!=1. Sin repetición, para enteros 0≤k≤n: la variación A elige k objetos distintos con orden, P permuta todos los n y C combina sin orden:
(A_(n))^(k) = (n!)/((n − k)!), P_(n) = n!, (C_(n))^(k) = (n!)/(k!(n − k)!).
Hay 4 coordinadores posibles y 3 presentadores distintos. En un equipo AB y BA son iguales; dividimos entre 2!:
(A_(4))^(2) = 4 ⋅ 3 = 12, (C_(4))^(2) = (12)/(2!) = 6.
Cada equipo de k personas tiene k! órdenes. Dividir entre k! elimina el conteo repetido uniforme; comprueba esa uniformidad antes de dividir. OpenStax
Rama · Más detalleOpcional · se puede omitir
Repetición, Pascal y binomio de Newton
Con repetición y los n tipos disponibles en cada una de k posiciones hay nᵏ secuencias: n elecciones por posición. Si grupos de objetos idénticos tienen tamaños m₁,…,mᵣ que suman n, la segunda fórmula cuenta sus permutaciones:
(n)^(k); (n!)/(m_(1)!⋯m_(r)!) (m_(1) + ⋯ + m_(r) = n).
AABC da 4!/2!=12 cadenas distintas. Sin importar orden, al elegir k objetos de n tipos con existencias ilimitadas:
(C_(n + k − 1))^(k) (n ≥ 1, k ≥ 0).
Escribimos k estrellas y n−1 separadores. Las estrellas entre separadores indican cantidades de cada tipo, incluidos ceros. Es una correspondencia uno a uno. Dos objetos de tres tipos: AA,AB,AC,BB,BC,CC — 6. MIT, combinaciones con repetición.
El triángulo de Pascal tiene 1 en los bordes; cada número interior suma los dos superiores:
(C_(n))^(k) = (C_(n − 1))^(k − 1) + (C_(n − 1))^(k) (1 ≤ k < n).
Primeras filas: 1; 1,1; 1,2,1; 1,3,3,1; 1,4,6,4,1. Un equipo incluye a cierta persona o la excluye: de ahí la suma. Para n entero no negativo, el binomio de Newton:
((a + b))^(n) = ((∑)_(k = 0))^(n)(C_(n))^(k)(a)^(n − k)(b)^(k).
Cₙᵏ cuenta de qué k factores tomamos b y del resto a. El cubo tiene coeficientes 1,3,3,1, no solo dos términos extremos. Coeficientes binomiales.
Antes de contar, decide si intercambiar objetos cambia el resultado y si pueden repetirse. Equipos y funciones dan respuestas distintas con las mismas cuatro personas.