Límites, continuidad y asíntotas

Sumar un medio, un cuarto y sucesivas mitades nunca da exactamente uno en un número finito de pasos. ¿Por qué su límite es 1? Un límite describe una aproximación tan precisa como se desee; no exige igualdad en un paso. Requisitos: hipérbola, transformaciones, suma geométrica y radianes.

$S_n=\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^n}=1-2^{-n},\qquad\lim_{n\to\infty}S_n=1.$

El resto vale 2⁻ⁿ. Para cualquier error positivo fijado existe un paso a partir del cual todos los restos son menores. Tras el décimo paso es menor que 0,001. Convergencia exige todos los términos posteriores, no unas pocas aproximaciones buenas. Infinito describe un índice que crece sin cota; no es un número que se sustituye.

Acercarse no es evaluar en el punto

$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\quad(x\ne1),\qquad\lim_{x\to1}g(x)=2.$

En x=1 el denominador es cero: g(1) no existe. Pero en los x permitidos próximos la gráfica coincide con x+1 y se acerca a 2 desde ambos lados. La definición de límite se refiere a x≠a.

Continuidad

Hueco en x=1

Salto en x=1

Escalas uniformes iguales, valores hipotéticos adimensionales. Punto lleno incluido, hueco excluido. Arriba x+1; centro la misma recta sin x=1; abajo 1 a la izquierda y 3 a la derecha, incluyendo x=1.

El primer panel f(x)=x+1 es continuo: existen el valor y el límite bilateral, y coinciden:

$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$

En el segundo falta el valor; se puede llenar el hueco con 2. En el tercero una tarifa hipotética vale 1 para x<1 y 3 para x≥1. Los límites laterales son 1 y 3: no hay límite común. Asignar un valor no elimina el salto. OpenStax

Qué significa una asíntota

$\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty,\quad\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty;\quad\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0.$

Para 1/x, x=0 es asíntota vertical e y=0 horizontal. Los signos laterales difieren; infinito no es un límite finito. Una gráfica puede cruzar una asíntota horizontal: la definición describe su comportamiento lejano.

Rama · Más detalleOpcional · se puede omitir

Cuándo son válidas las operaciones con límites

Si existen ambos límites finitos, el límite de suma, diferencia o producto es la operación correspondiente. Un cociente exige que el límite del denominador no sea cero. Una sucesión monótona acotada converge; estar acotada no basta: (−1)ⁿ oscila. Condiciones contrastadas con las leyes de límites y el teorema de convergencia monótona; omitimos sus pruebas generales.

El límite trigonométrico fundamental:

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

Argumento en radianes. Comparar áreas de triángulos y sector del círculo unidad da cos x≤sin x/x≤1 para 0<x<π/2. Ambas cotas tienden a 1 y encierran la expresión; la paridad extiende el resultado a x negativos. Con argumento en grados el resultado sería π/180. Límites trigonométricos.

Precisión de Cauchy y teoremas de continuidad

Suponemos que hay x≠a del dominio arbitrariamente cerca de a. La definición de Cauchy exige, para cada error ε>0, una distancia δ>0 tal que todos los x admisibles cumplan:

$0<|x-a|<\delta\quad\Rightarrow\quad|f(x)-L|<\varepsilon.$

Para nuestro g(x)=x+1 con x≠1, |g(x)−2|=|x−1|: sirve δ=ε. La distancia depende de la precisión pedida, no del x elegido después. Definición precisa.

El teorema del valor intermedio (Bolzano–Cauchy) afirma que una función continua en [a,b] toma todo valor entre f(a) y f(b). Signos opuestos en los extremos garantizan un cero interior. Garantiza existencia, no unicidad; sin continuidad falla la conclusión. Valores intermedios.

Los teoremas de Weierstrass garantizan que una función continua en [a,b] cerrado y acotado es acotada y alcanza máximo y mínimo. Para f(x)=x en (0,1) abierto, no se alcanzan 0 ni 1. Las condiciones importan; omitimos las demostraciones generales. Valores extremos.

Distingue hacia dónde se acercan los valores, qué valor se asigna al punto y si coinciden. Hueco y salto dan respuestas distintas, aunque ambos rompen la continuidad.