Identidades trigonométricas: ángulos y ondas

Dos ondas de amplitud 1 desfasadas π/3 suman amplitud √3, no 2. Las identidades de suma describen giros y refuerzo de ondas. Usamos productos, círculo y sinusoides.

El círculo unidad cumple x²+y²=1; sustituimos las coordenadas cos/sin. La reflexión da los signos negativos:

(sin⁡)^(2)x + (cos⁡)^(2)x = 1; sin⁡( − x) = − sin⁡x, cos⁡( − x) = cos⁡x.

También sin(π−x)=sin x, cos(π−x)=−cos x: en II cambia la coordenada horizontal.

Deducción geométrica

Giramos dos direcciones unitarias perpendiculares α: (cosα,sinα) y (−sinα,cosα). Un vector unitario (una flecha de longitud 1) girado β adicional tiene proyecciones cosβ y sinβ sobre ellas. Sumamos las componentes horizontales y verticales:

cos⁡(α + β) = cos⁡αcos⁡β − sin⁡αsin⁡β.

sin⁡(α + β) = sin⁡αcos⁡β + cos⁡αsin⁡β.

Cambiar β por −β da diferencias; por α, ángulos dobles:

sin⁡2x = 2sin⁡xcos⁡x; cos⁡2x = (cos⁡)^(2)x − (sin⁡)^(2)x.

Dos giros sucesivos

x²+y²=1

Suma de ondas desfasadas

sin t + sin(t+π/3) = √3 sin(t+π/6)

Sumar ondas

Sustituimos α=t+π/6, β=π/6 en suma y diferencia:

sin⁡t + sin⁡(t + π/3) = √(3)sin⁡(t + π/6).

En general sin t+sin(t+δ)=2cos(δ/2)sin(t+δ/2); la amplitud es el módulo del coeficiente. δ=π da cancelación en este modelo ideal. OpenStax

Rama · IdentidadesOpcional · se puede omitir

Ángulos triple y mitad, sumas y productos

La suma repetida o la sustitución del ángulo mitad da estas identidades opcionales:

sin⁡3x = 3sin⁡x − 4(sin⁡)^(3)x; cos⁡3x = 4(cos⁡)^(3)x − 3cos⁡x.

(sin⁡)^(2)(x/2) = (1 − cos⁡x)/(2); (cos⁡)^(2)(x/2) = (1 + cos⁡x)/(2).

Al sacar raíz, el cuadrante determina el signo de sin(x/2) o cos(x/2); no elijas siempre positivo.

sin⁡u + sin⁡v = 2sin⁡((u + v)/(2))cos⁡((u − v)/(2)); cos⁡u + cos⁡v = 2cos⁡((u + v)/(2))cos⁡((u − v)/(2)).

2sin⁡ucos⁡v = sin⁡(u + v) + sin⁡(u − v);

2cos⁡ucos⁡v = cos⁡(u + v) + cos⁡(u − v); 2sin⁡usin⁡v = cos⁡(u − v) − cos⁡(u + v).

Dividimos la fórmula de suma del seno entre la del coseno:

tan⁡(α + β) = (tan⁡α + tan⁡β)/(1 − tan⁡αtan⁡β).

Se exige cosα, cosβ y cos(α+β) distintos de cero. Las fórmulas de seno y coseno no tienen esas excepciones. Conserva el caso cero antes de cancelar un factor trigonométrico o perderás soluciones.